Зростаючий порядок цифр у цілому числі

Задача. Зростаючий порядок цифр у натуральному числі

Скільки існує  n-цифрових чисел,  усі цифри яких записані в строго зростаючому порядку, якщо вважати правильними n-цифрові  записи чисел:  000..01 =1, 00..0012=12, 000…000123=123 і так далі

Розв'язання. Зрозуміло, що треба розглядати випадок, коли  n<11.

Спочатку знайдемо кількість  10-цифрових чисел,  у яких усі цифри різні і розташовані у довільному порядку.

 В розряд одиниць такого 10-цифрового числа   можна записати 10-ма способами будь-яку цифру, бо різних цифр 10: {0;1;2;3;4;5;6;7;8;9}.

В розряд десятків такого 10-цифрового числа   можна записати  9 способами деяку цифру,  бо 10-1=9 цифр, так як одна цифра уже стоїть в розряді одиниць, тобто використана.

В розряд сотень такого 10-цифрового числа   можна записати 8 способами деяку цифру, бо 10-2=8 цифр, так як дві цифри уже стоять в розряді одиниць та десятків, тобто використані.

Аналогічно міркуємо  до    розряду одиниць мільярдів, в який можна буде записати лише одним способом  цифру.  Скористаємося правилом добутку, отримаємо, що  існує 10!=1*2*3*4*5*6*7*8*9*10=3628800 чисел,  у яких усі цифри різні і розташовані у довільному порядку.

Порахуємо кількість десятицифрових чисел, усі цифри яких записані в строго зростаючому порядку.

З десяти різних цифр можна утворити  3628800 10-цифрових чисел, у яких цифри не повторюються і розташовані в довільному порядку, серед  яких  лише в одному випадку цифри розташовані в зростаючому порядку. Тому шукані числа становитимуть  1/3628800 всіх 10-цифрових чисел з різними цифрами.

Тепер  знайдемо кількість  9-цифрових чисел,  у яких усі цифри різні і розташовані у довільному порядку.

 В розряд одиниць такого 9-цифрового числа   можна записати 10-ма способами будь-яку цифру, бо різних

одна цифра уже стоїть в розряді одиниць, тобто використана.

В розряд сотень такого 9-цифрового числа   можна записати 8 способами деяку цифру, бо 10-2=8 цифр, так як дві цифри уже стоять в розряді одиниць та десятків, тобто використані.

Аналогічно міркуємо  до    розряду сотень мільйонів, в який можна буде записати лише одним способом  цифру, бо різних  цифр 10: {0;1;2;3;4;5;6;7;8;9}.

В розряд десятків такого 9-цифрового числа   можна записати  9 способами деяку цифру,  бо 10-1=9 цифр, так як.  Скористаємося правилом добутку, отримаємо, що  існує 2*3*4*5*6*7*8*9*10=3628800 чисел,  у яких усі цифри різні і розташовані у довільному порядку.

Порахуємо кількість дев'ятицифрових чисел, усі цифри яких записані в строго зростаючому порядку.

З десяти різних цифр можна утворити  3628800 9-цифрових чисел, у яких цифри не повторюються і розташовані в довільному порядку.  З дев'яти різних цифр утворюємо різні перестановки, серед  яких  лише в одному випадку цифри розташовані в зростаючому порядку. Тому шукані числа становитимуть  1/9! всіх 9-цифрових чисел з різними цифрами.  3628800/9!=10 чисел, що мають 9 різних цифр і розташовані в зростаючому порядку.

Тепер  знайдемо кількість  8-цифрових чисел,  у яких усі цифри різні і розташовані у довільному порядку.

 В розряд одиниць такого 8-цифрового числа   можна записати 10-ма способами будь-яку цифру, бо різних  10 цифр.

В розряд десятків такого 9-цифрового числа   можна записати  9 способами деяку цифру,  бо 10-1=9 цифр, так як одна цифра уже стоїть в розряді одиниць, тобто використана.

В розряд сотень такого 8-цифрового числа   можна записати 8 способами деяку цифру, бо 10-2=8 цифр, так як дві цифри уже стоять в розряді одиниць та десятків, тобто використані.

Аналогічно міркуємо  до    розряду десятків  мільйонів, в який можна буде записати лише одним способом  цифру, бо різних цифр 10: {0;1;2;3;4;5;6;7;8;9}.

Скористаємося правилом добутку, отримаємо, що  існує 3*4*5*6*7*8*9*10=1814400 чисел,  у яких усі цифри різні і розташовані у довільному порядку.

Порахуємо кількість 8-цифрових чисел, усі цифри яких записані в строго зростаючому порядку.

З десяти різних цифр можна утворити  1814400 8-цифрових чисел, у яких цифри не повторюються і розташовані в довільному порядку.  З восьми  різних цифр утворюємо різні перестановки, серед  яких  лише в одному випадку цифри розташовані в зростаючому порядку. Тому шукані числа становитимуть  1/8! всіх 9-цифрових чисел з різними цифрами.  1814400/8!=45 чисел, що мають 8 різних цифр і розташовані в зростаючому порядку.

Тепер  знайдемо кількість  7-цифрових чисел,  у яких усі цифри різні і розташовані у довільному порядку.

 В розряд одиниць такого 7-цифрового числа   можна записати 10-ма способами будь-яку цифру, бо 10 різних цифр.

В розряд десятків такого 7-цифрового числа   можна записати  9 способами деяку цифру,  бо 10-1=9 цифр.  

В розряд сотень такого 7-цифрового числа   можна записати 8 способами деяку цифру, бо 10-2=8 цифр, так як дві цифри уже стоять в розряді одиниць та десятків, тобто використані.

Аналогічно міркуємо  до    розряду одиниць  мільйонів, в який можна буде записати лише одним способом  цифру, із різних цифр 10: {0;1;2;3;4;5;6;7;8;9}.

Скористаємося правилом добутку, отримаємо, що  існує  4*5*6*7*8*9*10=604800 чисел,  у яких усі цифри різні і розташовані у довільному порядку.

Порахуємо кількість 7-цифрових чисел, усі цифри яких записані в строго зростаючому порядку.

З десяти різних цифр можна утворити  604800 7-цифрових чисел, у яких цифри не повторюються і розташовані в довільному порядку.  З 7  різних цифр утворюємо різні перестановки, серед  яких  лише в одному випадку цифри розташовані в зростаючому порядку. Тому шукані числа становитимуть  1/7! всіх 9-цифрових чисел з різними цифрами.  604800/7!=120 чисел, що мають 8 різних цифр і розташовані в зростаючому порядку.

І так далі.

Для 6-цифровиих отримаємо: 151200/6!=210 чисел, у яких цифри розташовані у зростаючому порядку.

Для 5-цифровиих отримаємо: 30240/5!=252 чисел, у яких цифри розташовані у зростаючому порядку.

Для 4-цифровиих отримаємо: 5040/4!=210 чисел, у яких цифри розташовані у зростаючому

 Для 3-цифровиих отримаємо: 720/3!=120 чисел, у яких цифри розташовані у зростаючому порядку.

Для 2-цифровиих отримаємо: 90/2!=45 чисел, у яких цифри розташовані у зростаючому порядку.

Для 1-цифровиих отримаємо: 10/1!=10 чисел, у яких цифри розташовані у зростаючому порядку.

Загальна кількість натуральних чисел,   у яких цифри розташовані у зростаючому порядку: 2(10+45+120+210)+252 =1022 (враховуючи і одноцифрові натуральні числа та нуль)

                 

Мультиплікативна послідовність чисел

Означення. Послідовність A(n)=  r₁*r₂*r₃*…*r_k-1*r_k*( r₁r₂r₃…r_k-1r_k), де натуральне число n = r₁r₂r₃…r_k-1r_k,  котре має з цифри   r_і, і=1…k, в десятковій системі числення, називатимемо мультиплікативною.

Розглянемо послідовність невід’ємних чисел А(n ), де  n – невід’ємне ціле число, що утворена  добутком усіх цифр, з яких складається натуральне число n, яке записане в десятковій системі числення, помножене на саме натуральне число n.

Приклади членів послідовності:  А(15 )=1*5*15=75,      А(20)=2*0*20=0,

Занесемо в таблицю 10х10 перші сто членів  мультиплікативної послідовності А(n )

	0	10	20	30	40	50	60	70	80	90	Всього
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	11	42	93	164	255	366	497	648	819
2	4	24	88	192	336	520	744	1008	1312	1656
3	9	39	138	297	516	795	1134	1533	1992	2511
4	16	56	192	408	704	1080	1536	2072	2688	3384
5	25	75	250	525	900	1375	1950	2625	3400	4275
6	36	96	312	648	1104	1680	2376	3192	4128	5184
7	49	119	378	777	1316	1995	2814	3773	4972	6111
8	64	144	448	912	1536	2320	3264	4368	5632	7056
9	81	171	522	1053	1764	2655	3726	4977	6408	8019
Всього		3	7	7	5	3	2	1	1	1

Упорядкуємо члени мультиплікативної послідовності:

0,1, 4,9,11,16,24,25,36,39,42,49,56,64,75,81,88,93,96, 119,138, …..992, 1008,….

Одноцифрових членів А(n): 4.

Двоцифрових членів А(n): 15, і так далі.

Запитання 1. Чи можна однозначно визначити по члену послідовності А(n) його порядковий номер n?

Відповідь: Не завжди, бо 192=А(24)=А(32), 648=А(36)=А(81), 1536=А(48)=А(64).

Запитання 2. Чи можна стверджувати, що нульових членів послідовності А(n)  безліч, і на проміжку від [0; 1] послідовність  А(n)=0 має  нульове значення для безлічі порядкових номерів n?

Відповідь: Так, проте   на цьому проміжку є одиничне значення А(n)=1, яке виконується тільки для n=1.

Властивості  мультиплікативної  послідовності А(n ) :

1.Усі члени послідовності А(n ), що мають парні номери: завжди парні, тобто А(2n )= 2р.  Обернене твердження невірне.  Не усі непарні члени послідовності є непарними, наприклад: А(21 )= 42, проте 21- непарне число.

2.Якщо номер члена послідовності закінчується нулем, тобто nº0(mod10),то А(n )=0. Обернене твердження невірне.  Наприклад: А(201 )= 0, проте nº1(mod10),

3.Якщо nº5(mod10),то А(n +k) º А(n -k) (mod10),  де k={0;1;2;3;4}. Обернене твердження невірне. Наприклад: А(52)= 250, проте nº2(mod10).

4.Послідовність А(n) на локальних проміжках:[n; n+9] , де nº0(mod10)   зростає і завжди має нульовий мінімум на цьому проміжку.  

5. Кількість нульових елементів послідовності на проміжку від  [0; 99]    дорівнює 10, а ненульових – 90.

6. Кількість нульових елементів послідовності А(n ) на проміжку від  [100; 999]    дорівнює 180, а ненульових – 720.

7. Кількість нульових елементів послідовності А(n ) на проміжку від  [1000; 9999]    дорівнює 2700, а ненульових – 6300.

8.  Кількість нульових елементів послідовності  А(n )  на проміжку від  [100…0; 999…9], де k –дев’яток   дорівнює(k-1)*9000..00, де k –1 нулів,   а ненульових – це різниця між 9000..00(k –нулів)  та (k-1)*9000..00, де k –1 нулів.

9.     Нелінійне діофантове рівняння  з трьома невідомими :

a*b *(10a+b)=c*a*(10c+a), де  a,b,c - ненульові  різні цифри,

 має дві цілі трійки розв’язок а₁=2, b₁=4, c₁=3;  a₂=4, b₂=8, c₂=6.

 Тобто А(24)=24*(2*4)=A(32)=32*(3*2)=192.   А(48)=A(64)=1536.  

10.    Нелінійне діофантове рівняння з двома невідомими:

a*b *(10a+b)=100b +10b + b, де  a,b - ненульові  різні цифри,

 має єдиний цілий розв’язок а=3, b=7. Тобто А(37)=37*(3*7)=777.   

 11.   Нелінійне діофантове рівняння з трьома невідомими:

a*b *(10a+b)=(10а+ c)², де  a,b,c - ненульові різні цифри,

 має єдиний цілий розв’язок а=1, b=8, c=2. Тобто А(18)=1*8*18=144=12*12.   

12.   Знайти найменше трицифрове значення виразу:

a*b *(10a+b),  де  a,b -  цифри,

 має єдиний цілий розв’язок а=1, b=7.  Тобто А(17)=1*7*17=119.

13.   Знайти найбільше трицифрове значення виразу:

a*b *(10a+b),  де  a,b -  цифри,

 має єдиний цілий розв’язок а=3, b=8.  Тобто А(38)=3*8*38=912.

14.   Нелінійне діофантове рівняння з двома невідомими:

a*b *(10a+b)=100а+10b , де  a,b - ненульові цифри,

 має єдиний цілий розв’язок а=2, b=5. Тобто А(25)=25*(2*5)=250.   

15.   Нелінійна діофантова система двох рівнянь з трьома невідомими:

a*b *(10a+b)= 10b +с,

a*b *(10b+a)= 10c +b,

 де  a,b, с - ненульові  різні цифри,

 має два цілих розв’язки (а=1, b=2, с=4) ,  А(12)=12*(1*2)=24  та     А(21)=21*(1*2)=42.   

(а=1, b=3, с=9) , (а=1, b=2, с=4) , Тобто А(13)=13*(1*3)=39 та  А(31)=31*(1*3)=93.

16.Нелінійне діофантове рівняння  з чотирма невідомими :

a*b *(10a+b)=c*d*(10c+d), де  a,b,c , d - ненульові різні цифри,

 має цілу четвірку:  а₁=3, b₁=6, c₁=8,  d₁=1;  

 Тобто А(36)=36*(3*6)=A(81)=81*(1*8)=648.  

17.Нелінійне діофантове рівняння  з двома невідомими :

a*а *(10a+а)=1000b +100а+10а+b, де  a,b - ненульові різні цифри,

 має цілу пару:  а₁=7, b₁=3

 Тобто А(77)=77*(7*7)=3773.  

18.Нелінійна діофантова система  з чотирма невідомими :

a*b *(10a+b)= 100c+10а+a,

c*d *(10c+d)= 100a+10c+c,

 де  a,b, с, d - ненульові  різні цифри,

 має цілу пару:  а₁=2, b₁=9, c₁=5,  d₁=1;  

 Тобто А(29)=29*(2*9)=522.    А(51)=51*(5*1)=255.     

19.Нелінійна діофантова система  з чотирма невідомими :

a*b *(10a+b)= 10а+b,

a*b *с(100a+10b+с)= 100а+10b+с,

a*b *с*d*(1000a+100b+10с+d)= 1000а+100b+10с+d,

……………………………………………………………………

де  a,b, с, d - ненульові  цифри,

 має цілу пару:  а₁=1, b₁=1, c₁=1,  d₁=1;  

 Тобто А(11)=11*(1*1)=11.  

 А(111)=111*(1*1*1)=111 . 

………………………………………………….

А(11…1)=11…1*(1*1*…*1)=11…1 .   

   

20. Виконується А(n)=n, якщо  n=111…111. Вірно обернене твердження.

21. Виконується А(kn)=kА(n), якщо  n=11…111, k=1, де  k, n – цифри.

22. Виконується А(kn)=k^mА(n), якщо  n=11…111, k=1, де  k=n,    m – цифри.

23. Виконується А(k+n)=A^m (k)+ А^m (n), якщо  n=0, k=1,  та k=0, n=1, де  k, n, m – натуральні числа.

24. Виконується А(n^m)=А^m (n), якщо  n={0;1}, де   m – натуральні числа.

25. Для довільних  натуральних чисел:  k, m, n = r₁r₂r₃…r_k-1r_k  виконується такі ділення націло:

A(n)+A²(n)+A³(n)+…+А^m(n) º0(mod n), тому що

A(n)=  r₁*r₂*r₃*…*r_k-1*r_k*( r₁r₂r₃…r_k-1r_k)=qn, де    q =  r₁*r₂*r₃*…*r_k-1*r_k

26. Для довільних  натуральних чисел:  k, m, n = r₁r₂r₃…r_k-1r_k  виконується такі ділення націло:

A(n)+A²(n)+A³(n)+…+А^m(n) º0(mod r₁);

A(n)+A²(n)+A³(n)+…+А^m(n) º0(mod r₂);

A(n)+A²(n)+A³(n)+…+А^m(n) º0(mod r₃);

…………………………………….

A(n)+A²(n)+A³(n)+…+А^m(n) º0(mod r_k);

тому що

А^m(n)= r₁^m *r₂ ^m *r₃ ^m *…*r_k-1 ^m *r_k ^m *( r₁r₂r₃…r_k-1r_k) ^m

27.А(m₁)=  r₁*r₂*r₃*…*r_p-1*r_p*( r₁r₂r₃…r_p-1r_p),

A(m₂)=  r₁*r₂*r₃*…*r_k-1*r_k*( r₁r₂r₃…r_k-1r_k),

Для різних  натуральних чисел: m₁, m₂  не  виконується рівність:
 А(m₁m₂)=  А(m₁)A(m₂)  

28.Виконується А(n)=n², якщо  n={0;1;2;3;4;5;6;7;8;9},