середа, 24 січня 2018 р.

Мультиплікативна послідовність чисел


Означення. Послідовність A(n)=  r1*r2*r3*…*rk-1*rk*( r1r2r3…rk-1rk), де натуральне число n = r1r2r3…rk-1rk,  котре має з цифри   rі, і=1…k, в десятковій системі числення, називатимемо мультиплікативною.
Розглянемо послідовність невід’ємних чисел А(n ), де  n – невід’ємне ціле число, що утворена  добутком усіх цифр, з яких складається натуральне число n, яке записане в десятковій системі числення, помножене на саме натуральне число n.
Приклади членів послідовності:  А(15 )=1*5*15=75,      А(20)=2*0*20=0,
Занесемо в таблицю 10х10 перші сто членів  мультиплікативної послідовності А(n )
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
Всього
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0

1
1
11
42
93
164
255
366
497
648
819

2
4
24
88
192
336
520
744
1008
1312
1656

3
9
39
138
297
516
795
1134
1533
1992
2511

4
16
56
192
408
704
1080
1536
2072
2688
3384

5
25
75
250
525
900
1375
1950
2625
3400
4275

6
36
96
312
648
1104
1680
2376
3192
4128
5184

7
49
119
378
777
1316
1995
2814
3773
4972
6111

8
64
144
448
912
1536
2320
3264
4368
5632
7056

9
81
171
522
1053
1764
2655
3726
4977
6408
8019

Всього

3
7
7
5
3
2
1
1
1




Упорядкуємо члени мультиплікативної послідовності:
0,1, 4,9,11,16,24,25,36,39,42,49,56,64,75,81,88,93,96, 119,138, …..992, 1008,….
Одноцифрових членів А(n): 4.
Двоцифрових членів А(n): 15, і так далі.

Запитання 1. Чи можна однозначно визначити по члену послідовності А(n) його порядковий номер n?
Відповідь: Не завжди, бо 192=А(24)=А(32), 648=А(36)=А(81), 1536=А(48)=А(64).

Запитання 2. Чи можна стверджувати, що нульових членів послідовності А(n)  безліч, і на проміжку від [0; 1] послідовність  А(n)=0 має  нульове значення для безлічі порядкових номерів n?
Відповідь: Так, проте   на цьому проміжку є одиничне значення А(n)=1, яке виконується тільки для n=1.


Властивості  мультиплікативної  послідовності А(n ) :
1.Усі члени послідовності А(n ), що мають парні номери: завжди парні, тобто А(2n )= 2р.  Обернене твердження невірне.  Не усі непарні члени послідовності є непарними, наприклад: А(21 )= 42, проте 21- непарне число.
2.Якщо номер члена послідовності закінчується нулем, тобто nº0(mod10),то А(n )=0. Обернене твердження невірне.  Наприклад: А(201 )= 0, проте nº1(mod10),
3.Якщо nº5(mod10),то А(n +k) º А(n -k) (mod10),  де k={0;1;2;3;4}. Обернене твердження невірне. Наприклад: А(52)= 250, проте nº2(mod10).
4.Послідовність А(n) на локальних проміжках:[n; n+9] , де nº0(mod10)   зростає і завжди має нульовий мінімум на цьому проміжку.  
5. Кількість нульових елементів послідовності на проміжку від  [0; 99]    дорівнює 10, а ненульових – 90.
6. Кількість нульових елементів послідовності А(n ) на проміжку від  [100; 999]    дорівнює 180, а ненульових – 720.
7. Кількість нульових елементів послідовності А(n ) на проміжку від  [1000; 9999]    дорівнює 2700, а ненульових – 6300.
8.  Кількість нульових елементів послідовності  А(n )  на проміжку від  [100…0; 999…9], де k –дев’яток   дорівнює(k-1)*9000..00, де k –1 нулів,   а ненульових – це різниця між 9000..00(k –нулів)  та (k-1)*9000..00, де k –1 нулів.
9.     Нелінійне діофантове рівняння  з трьома невідомими :
a*b *(10a+b)=c*a*(10c+a), де  a,b,c - ненульові  різні цифри,
 має дві цілі трійки розв’язок а1=2, b1=4, c1=3;  a2=4, b2=8, c2=6.
 Тобто А(24)=24*(2*4)=A(32)=32*(3*2)=192.   А(48)=A(64)=1536.  
10.    Нелінійне діофантове рівняння з двома невідомими:
a*b *(10a+b)=100b +10b + b, де  a,b - ненульові  різні цифри,
 має єдиний цілий розв’язок а=3, b=7. Тобто А(37)=37*(3*7)=777.   
 11.   Нелінійне діофантове рівняння з трьома невідомими:
a*b *(10a+b)=(10а+ c)2, де  a,b,c - ненульові різні цифри,
 має єдиний цілий розв’язок а=1, b=8, c=2. Тобто А(18)=1*8*18=144=12*12.   
12.   Знайти найменше трицифрове значення виразу:
a*b *(10a+b),  де  a,b -  цифри,
 має єдиний цілий розв’язок а=1, b=7.  Тобто А(17)=1*7*17=119.
13.   Знайти найбільше трицифрове значення виразу:
a*b *(10a+b),  де  a,b -  цифри,
 має єдиний цілий розв’язок а=3, b=8.  Тобто А(38)=3*8*38=912.
14.   Нелінійне діофантове рівняння з двома невідомими:
a*b *(10a+b)=100а+10b , де  a,b - ненульові цифри,
 має єдиний цілий розв’язок а=2, b=5. Тобто А(25)=25*(2*5)=250.   
15.   Нелінійна діофантова система двох рівнянь з трьома невідомими:
a*b *(10a+b)= 10b +с,
a*b *(10b+a)= 10c +b,
 де  a,b, с - ненульові  різні цифри,
 має два цілих розв’язки (а=1, b=2, с=4) ,  А(12)=12*(1*2)=24  та     А(21)=21*(1*2)=42.   
(а=1, b=3, с=9) , (а=1, b=2, с=4) , Тобто А(13)=13*(1*3)=39 та  А(31)=31*(1*3)=93.
16.Нелінійне діофантове рівняння  з чотирма невідомими :
a*b *(10a+b)=c*d*(10c+d), де  a,b,c , d - ненульові різні цифри,
 має цілу четвірку:  а1=3, b1=6, c1=8,  d1=1;  
 Тобто А(36)=36*(3*6)=A(81)=81*(1*8)=648.  
17.Нелінійне діофантове рівняння  з двома невідомими :
a*а *(10a+а)=1000b +100а+10а+b, де  a,b - ненульові різні цифри,
 має цілу пару:  а1=7, b1=3
 Тобто А(77)=77*(7*7)=3773.  
18.Нелінійна діофантова система  з чотирма невідомими :
a*b *(10a+b)= 100c+10а+a,
c*d *(10c+d)= 100a+10c+c,
 де  a,b, с, d - ненульові  різні цифри,
 має цілу пару:  а1=2, b1=9, c1=5,  d1=1;  
 Тобто А(29)=29*(2*9)=522.    А(51)=51*(5*1)=255.     
19.Нелінійна діофантова система  з чотирма невідомими :
a*b *(10a+b)= 10а+b,
a*b *с(100a+10b+с)= 100а+10b+с,
a*b *с*d*(1000a+100b+10с+d)= 1000а+100b+10с+d,
……………………………………………………………………
де  a,b, с, d - ненульові  цифри,
 має цілу пару:  а1=1, b1=1, c1=1,  d1=1;  
 Тобто А(11)=11*(1*1)=11.  
 А(111)=111*(1*1*1)=111 . 
………………………………………………….
А(11…1)=11…1*(1*1*…*1)=11…1 .   
   
20. Виконується А(n)=n, якщо  n=111…111. Вірно обернене твердження.
21. Виконується А(kn)=kА(n), якщо  n=11…111, k=1, де  k, n – цифри.
22. Виконується А(kn)=kmА(n), якщо  n=11…111, k=1, де  k=n,    m – цифри.
23. Виконується А(k+n)=Am (k)+ Аm (n), якщо  n=0, k=1,  та k=0, n=1, де  k, n, m – натуральні числа.
24. Виконується А(nm)=Аm (n), якщо  n={0;1}, де   m – натуральні числа.
25. Для довільних  натуральних чисел:  k, m, n = r1r2r3…rk-1rk  виконується такі ділення націло:
A(n)+A2(n)+A3(n)+…+Аm(n) º0(mod n), тому що
A(n)=  r1*r2*r3*…*rk-1*rk*( r1r2r3…rk-1rk)=qn, де    q =  r1*r2*r3*…*rk-1*rk

26. Для довільних  натуральних чисел:  k, m, n = r1r2r3…rk-1rk  виконується такі ділення націло:
A(n)+A2(n)+A3(n)+…+Аm(n) º0(mod r1);
A(n)+A2(n)+A3(n)+…+Аm(n) º0(mod r2);
A(n)+A2(n)+A3(n)+…+Аm(n) º0(mod r3);
…………………………………….
A(n)+A2(n)+A3(n)+…+Аm(n) º0(mod rk);
тому що
Аm(n)= r1m *r2 m *r3 m *…*rk-1 m *rk m *( r1r2r3…rk-1rk) m

27.А(m1)=  r1*r2*r3*…*rp-1*rp*( r1r2r3…rp-1rp),
A(m2)=  r1*r2*r3*…*rk-1*rk*( r1r2r3…rk-1rk),
Для різних  натуральних чисел: m1, m2  не  виконується рівність:
 А(m1m2)=  А(m1)A(m2)  

28.Виконується А(n)=n2, якщо  n={0;1;2;3;4;5;6;7;8;9},
Опубліковано о Немає коментарів:
Підписатися на: Дописи (Atom)