цікаві властивості цілих чисел

http://www.positiveintegers.org/

Алгебраїчні властивості цілих чисел

Подібно до натуральних чисел, множина цілих чисел закривається під операціями додавання та множення ; тобто сума і добуток будь-яких двох цілих чисел є цілим числом. Проте з включенням від'ємних і  натуральних чисел та нульовим (на відміну від натуральних чисел) також закривається під віднімання . Множина цілих чисел це НЕ замкнуто щодо операції ділення , так як частка від ділення двох цілих чисел (наприклад, 1 , поділене на 2), не обов'язково повинен бути цілим числом.

У наступній таблиці наведено деякі основні властивості додавання та множення для будь-яких цілих чисел a, b та c.

	Крім того	множення
закриття :	a + b - це ціле число	a × b - ціле число
асоціативність :	a + (b + c) = (a + b) + c	a × (b × c) = (a × b) × c
комутативність :	a + b = b + a	a × b = b × a
наявність елемента ідентичності :	a + 0 = a	a × 1 = a
існування зворотних елементів :	a + (- a) = 0
дистрибутивність :	a × (b + c) = (a × b) + (a × c)

опис 

це цілком незамкнена множина без верхньої та нижньої меж. Порядок дано

... <-2 <-1 <0 <1 <2 <...

Ціле число додатне, якщо воно перевищує нуль, а від'ємне  - менше нуля. Нульове значення визначається як ні негативний, ні позитивний номер.

Порядок цілих чисел сумісний з алгебраїчними операціями наступним чином:

1. якщо <b та c <d, то a + c <b + d
2. якщо <b та 0 <c, то ac <bc

дільники 

Дільником цілого числа п , також званий коефіцієнт з п , являє собою ціле число , яке рівномірно ділить п , не полишаючи залишок. Якщо х - дільник n , то можна записати, що x | п . Це читається як x розділяє n . Він також зазначив , що п є ділиться на х , і що п є кратним х .

1 і -1 - дільники кожного цілого числа, а кожне ціле число - дільник 0 . Числа, розділені на 2 , називаються рівними, а ті, які не є, називаються непарними .

Назва походить від арифметичної операції поділу: якщо a / b = c, то a є дивідендом , b - дільником і c фактором .

Деякими елементарними властивостями дивізорів є:

• Якщо a | б і а | c , то a | ( b + c ).
• Якщо a | b та b | з , а потім | з .
• Якщо a | b та b | a , то a = b або a = - b .

• Граф (дефіцит) , граф (рясний) і граф (ідеальний) - це кількість дефіцитних , рясних та відмінних чисел у цьому діапазоні.

Діапазон	кількість простих чисел  (Primes)	кількість чисел (Фібоначчі)	найбільш кількість дільників  (d (N)))	Числа, що мають макс. кількість дільників N	Граф (дефіцит)	Граф (рясний)	Граф (ідеальний)
1-100	25	10	12	60, 72, 84, 90, 96	76	22	2
101-200	21	1	18	180	76	24	0
201-300	16	1	20	240	77	23	0
301-400	16	1	24	360	73	27	0
401-500	17	0	24	420, 480	74	25	1
501-600	14	0	24	504, 540, 600	76	24	0
601-700	16	1	24	630, 660, 672	76	24	0
701-800	14	0	30	720	74	26	0
801-900	15	0	32	840	75	25	0
901-1000	14	1	28	960	74	26	0
1001-1100	16	0	32	1080	77	23	0
1101-1200	12	0	30	1200	76	24	0
1201-1300	15	0	36	1260	76	24	0
1301-1400 рр	11	0	32	1320	74	26	0
1401-1500	17	0	36	1440 рр	74	26	0
1501-1600	12	1	32	1512, 1560	77	23	0
1601-1700	15	0	40	1680	74	26	0
1701-1800	12	0	36	1800	75	25	0
1801-1900	12	0	32	1848, 1890	76	24	0
1901-2000 рр	13	0	36	1980	74	26	0
2001-2100	14	0	36	2016, 2100	74	26	0
2101-2200	10	0	40	2160	76	24	0
2201-2300	15	0	32	2280	75	25	0
2301-2400	15	0	36	2340, 2400	77	23	0
2401-2500	10	0	30	2448	74	26	0
2501-2600	11	1	48	2520	74	26	0
2601-2700	15	0	40	2640	78	22	0
2701-2800	14	0	36	2772	74	26	0
2801-2900	12	0	42	2880	75	25	0
2901-3000	11	0	36	2940	74	26	0
3001-3100	12	0	40	3024	76	24	0
3101-3200	10	0	40	3120	76	24	0
3201-3300	11	0	40	3240	74	26	0
3301-3400	15	0	48	3360	74	26	0
3401-3500	11	0	36	3420	74	26	0
3501-3600	14	0	45	3600	77	23	0
3601-3700	13	0	40	3696	78	22	0
3701-3800	12	0	48	3780	73	27	0
3801-3900	11	0	36	3840, 3900	74	26	0
3901-4000	11	0	48	3960	75	25	0
4001-4100	15	0	42	4032	74	26	0
4101-4200	9	1	48	4200	76	24	0
4201-4300	16	0	36	4284	74	26	0
4301-4400	9	0	48	4320	77	23	0
4401-4500	11	0	36	4410, 4500	77	23	0
4501-4600	12	0	40	4536, 4560	73	27	0
4601-4700	12	0	48	4620, 4680	74	26	0
4701-4800	12	0	42	4800	74	26	0
4801-4900	8	0	36	4860, 4896	76	24	0
4901-5000	15	0	36	4950	77	23	0
5001-5100	12	0	60	5040	75	25	0
5101-5200	11	0	36	5148	74	26	0
5201-5300	10	0	48	5280	77	23	0
5301-5400	10	0	48	5400	74	26	0
5401-5500	13	0	48	5460	75	25	0
5501-5600	13	0	48	5544	74	26	0
5601-5700	12	0	40	5616, 5670	75	25	0
5701-5800	10	0	48	5760	76	24	0
5801-5900	16	0	48	5880	73	27	0
5901-6000	7	0	48	5940	74	26	0
6001-6100	12	0	48	6048	76	24	0
6101-6200	11	0	48	6120	77	23	0
6201-6300	13	0	54	6300	72	28	0
6301-6400	15	0	42	6336	75	25	0
6401-6500	8	0	50	6480	74	26	0
6501-6600	11	0	48	6552, 6600	76	24	0
6601-6700	10	0	36	6624, 6660	73	27	0
6701-6800	12	1	56	6720	76	24	0
6801-6900	12	0	48	6840	76	24	0
6901-7000	13	0	48	6930	74	26	0
7001-7100	9	0	48	7020	76	24	0
7101-7200	10	0	54	7200	74	26	0
7201-7300	11	0	40	7280	74	26	0
7301-7400	9	0	48	7392	76	24	0
7401-7500	11	0	42	7488	75	25	0
7501-7600	15	0	64	7560	73	27	0
7601-7700	12	0	40	7680	76	24	0
7701-7800	10	0	48	7800	77	23	0
7801-7900	10	0	36	7812, 7840	75	25	0
7901-8000	10	0	60	7920	74	26	0
8001-8100	11	0	48	8064	72	28	0
8101-8200	10	0	48	8160, 8190	78	21	1
8201-8300	14	0	48	8280	74	26	0
8301-8400	9	0	60	8400	77	23	0
8401-8500	8	0	40	8424	73	27	0
8501-8600	12	0	48	8568, 8580	74	26	0
8601-8700	13	0	56	8640	78	22	0
8701-8800	11	0	48	8736	75	25	0
8801-8900	13	0	54	8820	75	25	0
8901-9000	9	0	48	9000	76	24	0
9001-9100	11	0	50	9072	76	24	0
9101-9200	12	0	48	9120, 9180	73	27	0
9201-9300	11	0	64	9240	74	26	0
9301-9400	11	0	60	9360	75	25	0
9401-9500	15	0	48	9450	75	25	0
9501-9600	7	0	48	9504, 9576, 9600	75	25	0
9601-9700	13	0	48	9660	76	24	0
9701-9800	11	0	48	9720	73	27	0
9801-9900	12	0	54	9900	78	22	0
9901-10000	9	0	40	9936	77	23	0