пʼятницю, 3 лютого 2017 р.

Каталог властивостей цілих чисел від 0 до 100

Доповніть цей каталог властивостей цілих чисел,
власними пошуками та дослідженнями.





0 (нуль). Позначає порожню множину, ненаявність або
 відсутність об'єктів у свідомості, тобто 0%. 
Найбільший неймовірний винахід людського розуму, який дав 
потужний імпульс розвитку математики.
Погодьтеся - неймовірно важко придумати «нічого»,
дати йому ім'я і використовувати в обчисленнях.
Цікава стаття Роберта Каплана про історію «нуля»
надрукована в жовтневому номері цього року Scientific American
(доступна на http://www.sciam.com/askexpert/math/math12/)
і починається з таємничих style = "mso-spacerun: yes" >
закорючек в клинописних посланнях Месопотамії 5000 річної давності.
Найцікавіші властивості - на нуль не можна ділити, підносити нуль до 

від'ємного степення не можна, нуль в нульовій степені не існує.
Нуль, будучи показником ступеня, прирівнює будь-яке ненульове число 

до одиниці.
Множення на нуль дає нуль. В чіткій логічній термінології - означає

 "хибність" твердження. 
Додавання і віднімання його результат не змінює: а+0=а,  а-0=а.
Використання нуля дозволяє створювати позиційні системи числення
(на відміну, наприклад, від римських цифр, обходилися без нуля).
Про наступні властивості гранично коротко, число нуль,  не має знаку. 

Розв'язок множини цілих показниково-степеневих рівнянь: 
 1^n+2^n+...+x^n=1, (x; n)=(1; 0) на множині цілих чисел.
Тривіальний розвязок (0; 0; 0; 0) множини цілих однорідних рівнянь:
 (a^n)*(z^n)+...+(y^n)*(x^n)+...+x^2n=0. 

1 - це одиниця. Позначає цілу частину об'єкту, тобто 100%. Має один натуральний дільник. Має два цілих дільника. Дає тотожність при множенні 1*а=а, 1*а^1=a.  Одиниця - це невидимий коефіцієнт перед змінною і невидимий показник степеня. Таким чином, а:а=1. Так само дорівнює будь-якому числу в нульовому ступені. Отже, а^0=1, якщо а - не нульове число. Еталон міри в евклідових просторах. Одиниця - довжина орт-вектора, що задає базис векторного простору. В чіткій логічній термінології - означає "істинність" твердження. Розв'язок множини цілих рівнянь:  1^n+2^n+...+x^n=1, (x; n)=(1; n) на множині цілих чисел.

2 - це двійка, єдине парне просте число. Зрозуміло, що а+а=2а,  а*а=а^2.  Дільник довільного парного числа. Рівняння 4m+2 = p^k(mod 10) має єдиний розвязок в цілих числах, а саме m=0, p=2, k=1.  
 Найменше число кольорів для розфарбовування карти на площині, що поділена прямими лініями(шаховий порядок розфарбування). Число коренів квадратного рівняння з ненульовими коефіцієнтами на множині комплексних чисел. Найменше число точок, що однозначно задають пряму лінію на площині і у просторі. 

3 - трійка. Число вимірів простору, в якому орієнтуються і усвідомлюють себе живі істоти. Мінімальне число неколінеарних точок, що однозначно задають площину у просторі. Кількість сторін багатокутника на площині з найменшою кількістю сторін. Трійка -  єдине число, яке дорівнює сумі всіх менших чисел - природно, мова весь час йде про цілі числа. Кількість рівних сторін і кількість внутрішніх кутів у рівностороннього трикутника. Шрифтове написання трійки має горизонтальну вісь симетрії. 
Число коренів кубічного рівняння з ненульовими коефіцієнтами на множині комплексних чисел. Сума цифр будь-якого числа конгруента самому числу за модулем 3. Кількість осей симетрії правильного багатокутника з трьома вершина і трьома сторонами. Кількість частин площин, які поділять дві паралельні прямі на площин. і
Найменше натуральне число в піфагорових трійках(a, b, c)=(3, 4, 5), що задовольняють рівняння Піфагора: а^2+b^2=c^2. Кількісно визначає поступальну тріаду історичного плину часу: минуле-теперішнє-майбутнє. Кількісно визначає всевишню тріаду релігійного контенту: батько-син-дух.

4 - четвірка. Найменше число кольорів для розфарбовування карти на площині, що поділена довільними суцільними прямими лініями. Тетраедальне число. Найменше натуральне складене число, що має три дільники. Квадрат натурального числа 2. Кількість основних орієнтирів-горизонтів: південь, північ, схід, захід. Кількість сторін та вершин правильного багатокутника, що має 4 вісі симетрії.


5 - п'ятірка. Кількість Платонових багатогранників. П'яте число з послідовності Фібоначчі: 1, 1,2,3,5,8,13,21,... Пірамідальне число. 


6 - шістка. 6 = 3! = 3+2+1. Найменше досконале число. Трикутне число. Кількість  зовнішніх кутів правильного трикутника.


7 - сімка. Найменше число сторін багатокутника, яким не можна замостити площину. Шестикутне число. 


8 - вісімка. Найбільший куб в послідовності Фібоначчі. Має горизонтальну і вертикальну осі симетрії. 


9 - девятка. Максимальне число кубів, необхідне для представлення у вигляді їх суми будь-якого додатного цілого числа.

10 - десятка. Основа нашої системи числення. Число топологічно різних фігур з 5 сірників. Тетраедальное і трикутне число.


11 Найбільша кількість шматків, на які ділять коло 4 прямі лінії. Має горизонтальну вісь симетрії. Паліндромне просте число.


12 Найменше число, яке має 4 дільника. Кількість плиток пентаміно.


13 Число Архімедова багатогранників. Число з послідовності Фібоначчі. Перестановочне (з 31) просте число.


14 Четверте число Каталана. Пірамідальне число.


15 Четверте число послідовності Белла. Трикутне число. Твір перших трьох непарних чисел. Кількість сполучень чотирьох чисел із шести.


16 - шістнядцятка. Найбільше ціле (ще є 1), яке виражається у формі x^y = y^x, а саме 2^4 = 4^2.


17 Кількість варіантів узорів, побудованих з використанням зрушень, поворотів і відбиттів. Перестановне (з 71) просте число.


18 Єдине число, рівне подвоєній сумі своїх цифр.


19 Максимальне число четверте ступенів чисел, за допомогою суми яких можна виразити будь-яке число. Шестикутне число.

20 Число топологічно різних фігур з 6 сірників. Тетраедальное число. Кількість сполучень трьох чисел із шести.


21 Число з послідовності Фібоначчі. Трикутне число. Кількість сполучень двох або чотирьох чисел із шести.


22 Кількість шматків, на які ділять коло 6 прямих ліній.


23 Кількість дерев з вісьмома ланками.
24 = 4! Найбільше число, яке ділиться на всі числа, менші кореня з нього.
25 Найменше число, яке можна представити як суму двох квадратів.
26 Найменше число не-паліндром, квадратом якого є паліндром.
27 Єдине (можливо?) Число, у якого сума цифр (9) суми кубів цифр (8 +343 = 351) з сумою цифр (18) куба суми цифр (729) дорівнює самому числу.
28 Друге досконале і одночасно трикутне число.
29 Сьоме число Люка.Наібольшее кількість шматків, на які ділять коло 7 прямих ліній.

30 Найбільше число, у якого всі числа менші його і взаємно прості з них прості. Пірамідальне число.
31 Просте число Мерсенна. Перестановочне (з 13) просте число.
32 Найменша п'ятий ступінь числа (виключаючи 1)
33 Найбільше число, не рівне сумі різних трикутних чисел. Має горизонтальну вісь симетрії.
34 Найменше число таке, що має рівну кількість дільників з найближчими сусідніми числами. Число з послідовності Фібоначчі
35 Кількість плиток гексамін. Тетраедальное число. Кількість сполучень трьох або чотирьох чисел із семи.
36 Найменше число (крім 1), яке одночасно і квадратне і трикутне. 

37 Максимальна кількість 5х ступенів чисел, необхідне для вираження їх сумою будь-якого числа. Кількість шматків, на які ділять коло 8 прямих ліній. Шестикутне число. Перестановочне (з 73) просте число.38 Найбільше римське число (по довжині) у лексикографічній запису (XXXVIII).
39 Три дільника цього числа пишуться одними й тими ж цифрами.
40 Максимальне число сфер, що стосуються кожної галузі при дуже ретельним упаковці їх в пятімерний просторі. Кількість розстановок 7 ферзів на дошці 7 * 7 що не загрожують один одному.
41 Найменше число, не виражається у формі | 2x - 3y |. А його квадрат містить у написанні два квадрати.
42 П'яте число Каталана. Кількість варіантів площин гексагексафлексагона.
43 Кількість гептіамондов. (Фігури з 7 правильних трикутників)
44 Кількість варіантів перемішування п'яти предметів, детальніше на http://www.mathpages.com/home/kmath430.htm
45 число Капрекара. Трикутне число. Кількість сполучень двох або восьми чисел з десяти.
46 Кількість ділянок, на які ділять коло 9 прямих ліній.
47 Найбільше число кубів, з яких не можна скласти куб. Кількість дерев з дев'ятьма ланками.
48 Найменше число, яке має 10 дільників.
49 Найменше число таке, що воно саме і його найближчі сусіди мають серед дільників квадрати.

50 Найменше число, яке можна представити як суму квадратів двома способами. Число варіантів складання смужки з 5 марок.
51 Шосте число Мотзкіна. (Motzkin numbers, подробиці на http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi/?Anum=001006)
52 Це п'яте число Белла.
53 Є одним з чисел n, які служать дільником суми n перших простих чисел.
54 Найменше число, яке може бути представлене сумою трьох квадратів трьома способами.
55 Найбільше трикутне число серед чисел Фібоначчі. Пірамідальне число.
56 Кількість варіантів Латинських квадратів. Тетраедальное число.
57 = 111 по заснуванню 7.
58 Половина, сума цифр і сума квадратів цифр - прості числа.
59 Найменше число, яке надається четвертими ступенями чисел у формі a4 + b4-c4.

60 Найменше число, що має своїми дільниками всі числа від 1 до 6. 
61
 Це шосте число Ейлера. Шестикутне число.
62 Найменше число, яке може бути представлене сумою трьох квадратів двома способами. 
63 
Кількість варіантів упорядкування множини з 5 елементів. 
64 
Найменше число, яке має 7 дільників. 
65 
Ще одне (як і 50) число, яке можна представити як суму квадратів двома способами. 
66 
Трикутне число. Кількість сполучень двох або десяти чисел з дванадцяти. 
67 
Найменше число, яке буде паліндромний, якщо його представити по підставі 5 або 6. 
68 
Спроба простежити послідовні суми квадратів цифр відразу обривається, тому що рядзамикається. 
69 
цікаве тим, що n2 і n3 разом містять всі цифри.

70 Кількість сполучень чотирьох елементів з восьми. 
71 
Дільник суми всіх простих чисел, менших його самого. Перестановочне (з 17) просте число. 
72 
Максимальне число сфер, що стосуються кожної галузі при дуже ретельним упаковці їх вшестімерном просторі.
73 
Найменше з чисел (виключаючи 1), яке менше подвоєного числа з перевернутими цифрами (37 * 2 = 74). Перестановочне (з 37) просте число.
74 Одне з чисел з такою властивістю, що сума його з перевернутим числом дорівнює квадрату суми його цифр (74 +47 = 11 ^ 2). Число областей, на які ділять площину 9 пересічних кіл.
75 Якщо скласти суму цифр з їх твором і повторювати цю операцію, то незабаром зациклився на числі 39.
76 Кількість трикутників, які можна скласти з зубочисток 6 кольорів.
77 Найбільше число, яке не може бути представлено сумою ряду чисел, починаючи з 1.
78 Найменше число, яке може бути представлене сумою чотирьох квадратів трьома варіантами. Трикутне число. Кількість сполучень двох чи одинадцяти чисел з тринадцяти.
79 перестановочне просте число, тому що 97 теж просте.

80 Найменше число n таке, що n і n +1 обидва є творами чотирьох і більше простих чисел.
81 Квадрат суми цифр.
82 п'ятикутне число.
83 Ще одне з чисел з такою властивістю, що сума його з перевернутим числом дорівнює квадрату суми його цифр.
84 Тетраедальное число. Кількість сполучень трьох або шести чисел з дев'яти. Кількість областей, на які ділять простір 7 сфер.
85 Якщо взяти суму квадратів цифр і повторювати цю операцію, то незабаром потрапимо в замкнуте кільце, в якому, що найцікавіше, число 85 не бере участь.
86 = 222 по підставі 6.
87 Єдине нічим не примітне число в першій сотні, цим і цікаво:)  87 - сума квадратів перших 4 простих чисел 87 = 22 + 32 + 52 + 72
88 Єдине число з двох однакових цифр, квадрат якого є дві пари однакових цифр. Має горизонтальну і вертикальну осі симетрії.
89 = 81 + 92 Число з послідовності Фібоначчі.

90 Число десятків дорівнює кількості дільників (не рахуючи 1)
91 запишеться як 10101 по підставі 3. Шестикутне число. Найбільше число, для якого виконується рівність 12 +22 +32 +...+ n2 = 1 +2 +3 +...+ m, тому воно пірамідальне і ще й трикутне число.
92 Число розстановок восьми ферзів на шахівниці так, щоб вони не погрожували один одному. Число областей, на які ділять площину 10 пересічних кіл.
93 = 333 по підставі 5.
94 Половина, сума цифр і сума квадратів цифр - прості числа.
95 Кількість варіантів поділу площині на 10 областей (подробиці у the On-Line Encyclopedia of Integer Sequences http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi?Anum = A000786)
96 Найменше число, яке можна представити як суму квадратів чотирма способами.
97 Найменше з чисел, три перші кратних якого містять цифру 9. Перестановочне (з 79) просте число.
98 Найменше з чисел, п'ять перших кратних якого містять цифру 9.
99 Число Капрекара, так як 992 = 9801, а 98 +01 = 99.
100 Найменший квадрат, рівний сумі кубів чотирьох послідовних чисел.

Немає коментарів:

Дописати коментар