Поради учасникові математичного змагання
Прочитайте умови всіх задач математичного змагання і помітьте, в якому порядку ви їх вирішуватимете. Врахуйте, що зазвичай
завдання впорядковані за збільшенням їх труднощі.
Якщо умова, на ваш погляд, можна зрозуміти різними
способами, то не вибирайте найзручніший для себе, а звертайтеся до узагальненого трактування умови за допомогою запитань до себе, як знайти властивості, якими володіє об'єкт.
Якщо завдання здалося дуже легке – це підозріло, можливо, ви неправильно зрозуміли умову
або десь помилилися. Змініть точку зору на
Якщо завдання не вирішується – спробуйте її спростити (узяти менші числа, розглянути
окремі випадки, об'єднати деякі числа за однаковими властивостями і т.д.) або сформулювати обгрунтування «від супротивного», або замінити числа
буквами і т. д. записати їх властивості у вигляді змінних величин.
Якщо неясно, чи вірне деяке твердження, то намагайтеся
його по черзі те доводити, то спростовувати (рада А. Н. Колмогорова).
Не зациклюйтеся на одному завданні: іноді відривайтеся
від неї і оцінюйте свої
можливості. Якщо є хоч невеликі
успіхи, то можна продовжувати, а якщо думка ходить по кругу, то завдання краще
залишити (хоч би на якийсь час).
Якщо втомилися, відверніться на декілька хвилин (подивіться на хмари
або просто відпочиньте).
Вирішивши завдання, відразу оформляйте рішення. Це допоможе перевірити
його правильність і звільнить увагу для інших завдань.
Кожен крок розв’язання
треба формулювати, навіть якщо він здається
очевидним.
Шкільна математична олімпіада 7 кл
1.Усі натуральні числа виписали в ряд. Яка цифра стоїть
на 2008 місці.
2. З трьох хлопців кожен або завжди говорить правду або
неправду. Коли їх запитали: «Скільки серед вас брехунів?» Один із них відповів,
що один. Другий відповів, що два. Третій відповів, що три. Скільки ж насправді було серед них брехунів? Хто з них правдолюб?
3. Як розрізати прямими лініями прямокутний різносторонній трикутник
на чотири нерівних між собою
рівнобедрених трикутники?
4. У спортивному класі менше ніж 50 учнів. Сьома частина з них грає тільки
у волейбол, третя частина з них грає тільки у хокей, а половина з них грає тільки у
футбол. Всі інші учні займаються
тільки легкою атлетикою. Скільки учнів у класі займаються легкою
атлетикою?
5. Є два друкарських автомати. Якщо на вхід першому автомату помістити
картку з числами (a; b; c), то він видає картку з числами (
(a+b):2, (c+b):2, (a+c):2 ), а якщо другому автомату на вхід помістити картку з
числами (a; b; c), то він видає
картку з числами (2a – b, 2b – c, 2c – a). Чи можна за допомогою цих автоматів
з картки (2,8; –1,7; 16) отримати картку (12;
5,2; 2,86)?
6. Меню складається з 101 страви. Доведіть, що
кількість способів вибору обіду з непарної кількості страв дорівнює кількості
способів вибору обіду з парної кількості страв.
Примітка. Вибрати обід з 0
страв також дозволяється, і вважається, що такий обід складається з парної
кількості страв.
7. Знайдіть всі трицифрові числа, які в результаті викреслювання
середньої цифри зменшуються в 7 разів.
8. Чи існує натуральне число, в десятковому записі 2008-ої степені якого одна
з цифр є добутком усіх інших? Якщо існує, чи може воно бути непарним?
9.
Доведіть, що серед будь-яких трьох цілих чисел можна знайти два, сума яких
ділиться на 2.
10.
Які остачі при ділені на 6 може мати просте число, більше, ніж 3?
Зразок шкільної математичної олімпіади 7 кл
1.Усі натуральні числа виписали в ряд. Яка
цифра стоїть на 2008 місці.
Розв’язання. Одноцифрових натуральних чисел 9, їхнє місце відповідає номеру числа. Отже,
одноцифрові натуральні числа зайняли перші
дев’ять місць.
Двоцифрових натуральних чисел 90. Кожне двоцифрове число
займає два місця, бо має дві цифри. Всього вони займають 2∙90 =180 місць. Всі
місця двоцифрових чисел відповідають номерам від 10 до 189.
Трицифрових натуральних чисел 900, Кожне трицифрове число займає три місця, бо
має три цифри. Всього вони займають 3∙900 =2700 місць. Всі місця трицифрових
чисел відповідають номерам від 190 до 2889. Таким чином, на 2008 місці знаходиться цифра деякого
трицифрового числа. Знайдемо це число.
2008 – 189 = 1819,
1819:3 = 606 (остача 1).
Вияснимо, яке останнє трицифрове число займає місця 2005,
2006, 2007. Так, як в ряд натуральних чисел, які виписані підряд до 2008-1=
2007 місця поміщаються повних 606 трицифрових, 90 двоцифрових, та 9
одноцифрових чисел, то в цей ряд записані натуральні числа від 1 до 705= 606 +
90 + 9. Значить 2008 місце займає перша
цифра такого трицифрового числа: 706.
Отже на 2008 місці знаходиться цифра 7.
Відповідь: 7.
2. З трьох хлопців кожен або завжди говорить правду або
неправду. Коли їх запитали: «Скільки серед вас брехунів?» Один із них відповів,
що один. Другий відповів, що два. Третій відповів, що три. Скільки ж насправді було серед них брехунів? Хто з них правдолюб?
Розв’язання. Оскільки всі троє по-різному
відповіли на одне і те ж запитання, то серед них може бути тільки один єдиний
правдолюб, а інші брехуни. А правду
сказав той, хто відповів, що серед них двоє брехунів.
Відповідь: два брехуни, а правдолюб той, хто
відповів, що серед них двоє брехунів.
3. Як розрізати прямими лініями прямокутний
різносторонній трикутник на чотири
нерівних між собою рівнобедрених трикутники?
Розв’язання. У трикутнику провести висоту до найбільшої
сторони. І розрізати цей трикутник по лінії висоти. Утвориться два прямокутних
трикутника. У цих двох трикутниках провести медіани до найдовшої сторін. І
розрізати кожен трикутник по лініям медіан. Утвориться чотири нерівних між
собою рівнобедрених трикутники. Так, як медіана прямокутного трикутника, що
опущена на найдовшу сторону рівна
половині цієї сторони, то усі чотири трикутники рівнобедрені. До речі, два з
них тупокутні рівнобедрені з двома рівними кутами, які дорівнюють меншому куту даного трикутника, два з інших
гострокутні рівнобедрені, з двома рівними кутами, які дорівнюють
середньому куту даного трикутника.
4. У спортивному класі менше ніж 50 учнів. Сьома частина
з них грає тільки у волейбол, третя частина з них грає тільки у хокей, а
половина з них грає тільки у футбол. Всі інші учні займаються тільки легкою атлетикою. Скільки учнів у
класі займаються легкою атлетикою?
Розв’язання. Оскільки кількість
учнів у класі ділиться без остачі на 7, на 3, і на 2, то в класі 2∙3∙7 = 42
учні. 42 -21- 14- 6 = 1. Отже, лише один
учень займається тільки легкою атлетикою.
Відповідь: 1 учень.
5. Є два друкарських автомати. Якщо на вхід
першому автомату помістити картку з числами (a; b; c), то він видає картку з числами ( (a+b):2, (c+b):2, (a+c):2 ), а якщо другому автомату на вхід помістити картку з
числами (a; b; c), то він видає
картку з числами (2a – b, 2b – c, 2c – a). Чи можна за допомогою цих автоматів
з картки (2,8; –1,7; 16) отримати картку (12; 5,2; 2,86)?
Розв’язання. Якщо помістити картку (2,8; –1,7; 16)
в дві друкарські машини, і знаходити суму новоутворених чисел, то
отримаємо одне і теж число. Слід
зауважити, що кожен з автоматів зберігає суму чисел, записаних на картці.
Дійсно, (a+b):2 + (c+b):2 + (a+c):2 = a + b + c і (2a – b) + (2b – c) + (2c – a) = a + b + c. Цю суму чисел ніколи не змінюють два друкарських апарати. Залишається виявити,
що 2,8 + (–1,7) + 16 ¹ 12 + 5,2 + 2,86. Отже, так суми різні, то отримати
картку (12;
5,2; 2,86) не можна.
Відповідь: Не можна.
6. Меню
складається з 101 страви. Доведіть, що кількість способів вибору обіду з
непарної кількості страв дорівнює кількості способів вибору обіду з парної
кількості страв.
Примітка. Вибрати
обід з 0 страв також дозволяється, і вважається, що такий обід складається з
парної кількості страв.
Доведення. Якщо вибрати з
меню парну кількість страв, то кількість страв, які залишаться невибраними, —
число непарне. Тобто будь-якому вибору обіду з парною кількістю страв
відповідає рівно один вибір з непарною кількістю страв, і навпаки — вибору з
непарною кількістю страв відповідає один вибір з парною кількістю.
7. Знайдіть всі трицифрові числа, які в результаті викреслювання
середньої цифри зменшуються в 7 разів.
Відповідь: 105
8. Доведіть, що серед будь-яких трьох цілих чисел можна знайти
два, сума яких ділиться на 2. Доведення. При виборі будь-яких трьох цілих чисел можливі чотири
випадки:
парне,
парне, непарне;
парне,
непарне, непарне;
парне,
парне, парне;
непарне,
непарне, непарне.
В
кожному з цих випадків є два числа, сума яких ділиться на 2:
беремо
два парних числа;
беремо
два непарних числа;
беремо
два парних числа;
беремо
два непарних числа.
9. Які остачі при ділені
на 6 може мати просте число, більше, ніж З?
Розв'язання. При діленні натурального числа n на 6 можливі остачі 0; 1; 2;
3; 4; 5, тоді:
n = 6k; n = 6k + 1; n = 6k + 2; n = 6k + 3; n = 6k + 4; n = 6k + 5.
Але
6k:6; (6k+ 2):2; (6k
+ 3):3; (6k + 4):2,
що неможливо, так як n - просте число, більше
ніж 3, тому остачі можуть бути 1 або 5.
Відповідь:
1 або 5.
10. На дошці записано ряд сто сімок. Чи
можна між деякими сімками поставити
знаки «+» або знак «-» так, щоб значення
утвореного виразу дорівнювало 20082008? Обґрунтуйте відповідь.
Відповідь: неможна, бо
значення усіх утворених виразів ділиться націло на сім, а дане в умові число не
ділиться націло на сім.
Додаток.
Задачі на
конструкції.
1.(7-8).У клітинки
квадрата 3х3 запишіть різні натуральні числа так, щоб 6 добутків (по рядках і
стовпчиках) були рівні між собою.
ad
|
be
|
cf
|
be
|
cd
|
ae
|
ce
|
af
|
bd
|
a
|
b
|
cd
|
c
|
d
|
ab
|
bc
|
ac
|
1
|
Відповідь:
2
|
3
|
35
|
5
|
7
|
6
|
21
|
10
|
1
|
Зауваження. На рис.2
наведено приклад більш загальної конструкції (a, b, c, d – взаємно прості числа (не рівні 1), всі необхідні
добутки рівні a, b, c, d, e, f -
різні взаємно прості числа).
2. Хлопчик переміщує фішку на шаховій дошці,
причому за один хід дозволяється
Перемістити її в одну з
сусідніх клітинок по діагоналі. Чи можна пофарбувати клітинки шахової дошки у
чотири кольори так, щоб за два ходи не можна було б із будь-якої клітинки попасти в іншу, яка має такий же
колір?
Відповідь. Можна. Дивись розфарбування шахівниці за допомогою
чисел.
1
|
1
|
2
|
2
|
1
|
1
|
2
|
2
|
1
|
1
|
2
|
2
|
1
|
1
|
2
|
2
|
3
|
3
|
4
|
4
|
3
|
3
|
4
|
4
|
3
|
3
|
4
|
4
|
3
|
3
|
4
|
4
|
1
|
1
|
2
|
2
|
1
|
1
|
2
|
2
|
1
|
1
|
2
|
2
|
1
|
1
|
2
|
2
|
3
|
3
|
4
|
4
|
3
|
3
|
4
|
4
|
3
|
3
|
4
|
4
|
3
|
3
|
4
|
4
|
Немає коментарів:
Дописати коментар