Теореми про арифметичні дії з цілими числами

Теорема. Сума двох цілих чисел  q та r є цілим числом.

Зауваження. На  множині цілих чисел завжди виконується дія додавання та віднімання.

Правило 1. Щоб знайти суму цілих чисел однакових знаків, то спочатку додають  модулі  цих чисел (це числа без знаку), а потім перед сумою ставлять знак будь-якого доданку.

Приклад:

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10 = -55

або

+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=+55=55.

Правило 2. Щоб знайти суму двох цілих чисел протилежних знаків, то спочатку віднімають  модулі   цих чисел, від більшого віднімають менше, а потім перед результатом  ставлять знак більшого за модулем числа.

Приклад:

+ 3 -5 = -2,

 -7 + 9 = +2 = 2,

+20 -9 = + 11 = 11.

Теорема. Сума двох протилежних чисел дорівнює нулю.

Приклад. (-1,5) + (+1,5) = 0.

Теорема. Якщо один з двох доданків дорівнює нулю, то сума до­рівнює другому доданку: а + 0 = 0 + а = а.

Переставний і сполучний закони додавання справджуються для всіх цілих чисел.

Зауваження: Додавати кілька чисел з різними знаками можна послі­довно: спочатку знайти суму двох перших доданків, потім до цієї суми додати третій доданок і т. д. Але можна окремо додати всі додатні і всі від'ємні числа, а потім дві здобуті суми додати за правилом 2 додавання чисел з різними зна­ками.

Теорема. Якщо  два довільні  цілих числа  d та s,  то існує єдине ціле число х, яке задовольняє рівняння

d +  х = s.

  Зауваження. Ціле число х знаходять за допомогою дії віднімання і записують  х = s – d.  Математики 

число  d називають відомим  доданком,

число х називають невідомим доданком,

число s називають сумою(результат дії додавання).

Приклад: Для двох цілих чисел -10 та -8 завжди існує єдине ціле  х:

-8 + х = -10,

 х = -10 – (-8),

х = -10 + 8,

х = -2.

Зауваження: Наприклад, нехай цілі числа n і m еквівалентні(тобто числа із однаковою властивістю парності), якщо їхня різ­ниця – парне число.  Легко пересвідчитися, що вказане відношення є відношенням еквівалентності(парності) на множині цілих чисел, а множини парних і непарних чисел – класи еквівалентності(парності). Тобто всі цілі числа можна розділити на дві множини:

·       множина парних додатних і від’ємних  чисел (2к); 

·       множина непарних додатних і від’ємних  чисел (2к+1).

Теорема. Добуток двох цілих чисел  q та r є цілим числом.

Зауваження. На  множині цілих чисел завжди виконується дія множення. Добуток цілих чисел з однаковими знаками є додатнім, а добуток цілих чисел з різними знаками є число від’ємне. Добуток  будь-якого цілого числа і нуля дорівнює нулю. (Аби мати однозначність, математики домовилися, що число нуль не може бути дільником довільного цілого числа, тобто ціле число не можна поділити на нуль)

Зауваження. Множина цілих чисел серед математиків ще отримала назву кільце цілих  чисел, тому що у цій множині завжди виконуються три арифметичні дії: додавання, віднімання, множення.

     Щоб визначити добуток двох цілих чисел, треба перемножити їх модулі і перед результатом поставити знак плюс, якщо обидва множники мають однакові знаки, чи мінус, якщо знаки множників різні. Коли ж хоч один множ­ник дорівнює нулеві, то й добуток дорівнює нулеві.

Приклади. 

(-3) ∙(-5) = 15; 

 (-3)∙ (+2)  =  -6;

 (-3,7) ∙0 = 0.

 Щоб знайти добуток кількох чисел з різними знаками, треба перемножити їх модулі і перед результатом поста­вити знак плюс, якщо кількість від'ємних множників парна, чи мінус, якщо кількість від'ємних множників непарна.

Приклад.

 (-3) ∙ (+2) ∙(-5) ∙ (-6) = -180.

Переставний, сполучний і розподільний закони мно­ження  справджуються для всіх цілих чисел.

a∙b = b∙a, - переставний закон множення.

(a∙b)∙c = (c∙b)∙a – сполучний закон множення.

(a±b)∙c = c∙a±c∙b – розподільний закон множення.

Степінь цілого числа з натуральним показни­ком - це добуток кількох однакових цілих множ­ників:

                                       а∙а∙….∙а = аⁿ.

Зауваження. Будь-який парний степінь від'ємного числа додатний, а   непарний _– від'ємний. 

Зауваження. Другий степінь числа називають квадратом числа. Вираз (-5)² – читають: «Мінус п’ять у квадраті».

Третій степінь числа називають кубом числа. Вираз (-5)³ – читають: «Мінус п’ять у кубі».

Приклади.

(-5)⁰ = 1;

(-5)¹ = -5;

(-5)²= (-5)∙(-5) = 25;

(-5)³ = (-5) ∙(-5)∙(-5)  = -125;

(-5)⁴= (-5)∙ (-5) ∙(-5)∙(-5)  = 625;

Степінь ненульового числа з нульовим показником дорівнює одиниці.

Приклади.

(-5)⁰ = 1;

(+5)⁰ = 1;

(106)⁰ = 1;

Зауваження. Не можна підносити нуль до нульового степеня.

0⁰ – не визначений.

Степінь цілого числа з від’ємним  цілим показником - це  звичайний дріб, у чисельнику якого одиниця, а в знаменнику добуток кількох однакових цілих множ­ників.

а ^-n = 1/(a∙a∙….∙a) = 1/aⁿ.

Приклади:

(-5)^-1 = 1/5;

(-5)^-2= 1/(-5)∙(-5) = 1/25;

(-5)^-3 = 1/ (-5) ∙(-5)∙(-5)  = - 1/125;

(-5)^-4= 1/(-5)∙ (-5) ∙(-5)∙(-5)  = 1/625.

Зауваження. Не можна підносити нуль до від’ємного показника.

0^-6 – не визначений(не існує).

Властивості степенів з цілим показником:

1.    aⁿ ∙bⁿ = (a∙b)ⁿ;

2.    (aⁿ)ⁿ = a^n∙n;

3.    (aⁿ)^m = (a^m)ⁿ = a^n∙m;

4.    aⁿ :bⁿ = (a:b)ⁿ;

5.    aⁿ /a^m = a^n-m;

6.    aⁿ ∙a^m = a^n+m;

7.    (a/b)ⁿ = (b/a)^-n;

8.    1ⁿ  = (-1)^2k = 1;

9.    - 1ⁿ  = (-1)^2k-1 = -1;

10.                      a^-m = (1/a)^m.

Властивості ділення.

Частка від ділення двох цілих чисел з однако­вими знаками дорівнює частці їх модулів.

Частка від ді­лення двох цілих чисел з різними знаками дорівнює частці їх модулів, узятій із знаком мінус.

Приклади.

(–105) : (–15) = 7;

(+648):(–8) = = –81.

Теорема. Довільне ціле число, окрім 0, ділиться на себе і на 1. 

Теорема. Нуль ділиться на будь-яке ціле число, окрім 0.

Зауваження: рівняння  0∙b = 0 має безліч розв’язків на множині цілих чисел.  Проте слід запам’ятати:    0∙0 = 0,     0:b = 0.

Історична довідка

• Для полегшення роботи обчислювача в Стародавньому Вавилоні були винайдені різні таблиці, в тому числі і таблиці множення. В деяких країнах стародавнього світу застосовувався перший лічильний пристрій-абак.  Проте у стародавньому Єгипті дію письмового ділення натурального числа на натуральне число не виконували. Проте розуміли, що існує обернена дія до дії множення.  Єгипетські жреці вміли розподіляти числа на певні частини(доданки з заданими властивостями).
• В середньовічній Європі повсюдно використовувались римські цифри, але, оскільки “Працювати” з ними важко безпосередньо обчислення вироблялись знову на абаку.
• В 12 ст. була переведена на  латинську мову уже згадана книга  аль-Хорезмі, дякуючи чому з нею познайомилися європейці. З цього часу в Європі  почався постійний перехід на арабські цифри і нову систему числення. Але шанувальники абака не поспішали змінювати старі традиції в обчисленнях. Нове укорінювалося з великими труднощами. Боротьба між абацистами та алгоритміками закінчилось тільки в 17 столітті перемогою нової нумерації.
• Сучасні знаки арифметичних дій з’явились в 15 -17 ст.: „+”, „-” зустрічаються у рукописах 15 століття.; знак множення  у вигляді хрестика увів англійський математик У. Оутред (1574 – 1660), а знак множення у вигляді крапки – німецький математик Г. Лейбніц (1646 - 1716). Він також застосовував „:” для позначення ділення.

Теорема. Якщо ціле число  а ділиться на ціле число  b націло (внаслідок ділення отримуємо ціле число, тобто, повну частку, або   остача від ділення а:b  рівна нулю) і  ціле число  b ділиться на ціле число    c  націло, тоді ціле число  а ділиться на ціле число  с  націло.

Доведення: Із умови подільності а:b  націло слідує, що існує деяке ціле число  z  таке,  що

а= z∙b.   (*).

Із умови подільності b:с  націло слідує, що існує деяке ціле число  у  таке,  що

b= у ∙с.  (**).

Тоді отримаємо із рівності (*) та (**)

                               а= z∙b = z∙ у ∙с = (z∙ у )∙ с.

 Таким чином,  ціле число  а ділиться на ціле число  с  націло, тобто повна частка такого ділення  дорівнює цілому числу (z∙ у).

Теорема. Якщо кожний доданок суми або різниці с± а цілих чисел ділиться на с, то сума і різниця  поділиться на с.

Доведення: Із умови подільності а:b  націло слідує, що існує деяке ціле число  z  таке,  що

а= z∙b.   (*).

Із умови подільності b:с  націло слідує, що існує деяке ціле число  у  таке,  що

с= у ∙ b.  (**).

Тоді отримаємо із рівності (*) та (**)

                              с± а= z∙b ±∙ у ∙ b = (z± у )∙ b.

 Таким чином  ціле число  с± а ділиться на ціле число  b  націло, тобто повна частка такого ділення  дорівнює цілому числу (z±у).

Теорема. Якщо а ділиться на b  націло або с ділиться на b націло, то добуток а∙с  поділиться на b націло.

Таким чином, на множині цілих  справедливі такі властивості:

аb(а ± b)=2к, тобто добуток суми та добутку двох цілих чисел завжди є парним.

n(n+1)= 2к, тобто, добуток двох послідовних цілих чисел завжди парне число;

(n+2)(n+1)n = 3к, тобто, добуток трьох послідовних цілих чисел завжди ділиться на 3 націло;

(n-1)n(n+1) = 6к, тобто, добуток трьох послідовних цілих чисел завжди ділиться на 6 націло;

(n-1)n(n+1)(n+2) = 24к, тобто, добуток трьох послідовних цілих чисел завжди ділиться на 6 націло;

(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) = 2∙3∙4∙5к=120к, тобто, добуток п’яти послідовних цілих чисел завжди ділиться на 120 націло.