Натуральне число як сума двох простих чисел?

Проблемне запитання:  Чи можна будь-яке натуральне, число більше 4, записати як суму двох простих чисел?

 Задачі для самостійного осмислення учнями:

1.     Якщо розділити число на 12, отримаємо різницю семи та цього числа. Яке це число?

2.    Чи існують двоцифрові числа, які дорівняють різниці квадра­тів своїх цифр?

3.    Доведіть, що добуток цифр багатоцифрового числа менший від самого числа.

4.    Якщо від задуманого тризначного числа відняти 9, то одержане число поділиться на 9; якщо від того ж задуманого числа відняти 10, то результат поділиться на 10, а якщо відняти 11, то резуль­тат поділиться на 11. Знайдіть задумане число.

5.    Написали підряд два рази трицифрове число. Чому утворене число обов’язково поділиться на 7, на 11, 13?

Відповідь: 1001∙аbc = 7∙11∙13∙abc.

6.    Від двоцифрового числа відняли суму його цифр, одержали число, але записане тими самими цифрами, але у зворотному порядку. Яке початкове число?

 Відповідь: 54.

7.      У двоцифровому числі число десятків у 2 рази менше від числа одиниць. Якщо від цього числа відняти суму його цифр, то дістанемо 18. знайдіть це число.

 Відповідь: 24.

8.     Двоцифрове число в сумі з числом, записаним тими самими цифрами, але в зворотному порядку, дає квадрат натурального числа. Знайдіть всі такі двоцифрові числа.

 Відповідь: 29, 38, 47, 56, 65, 74, 83, 92.

9.     Якщо першу цифру трицифрового числа збільшити на  n, а другу і третю цифри зменшити на n, то одержане число  буде в n  разів більше від шуканого. Знайдіть це число.

10.                       Відповідь: 178.

11.                      Цифри трицифрового числа записали в зворотному порядку і від більшого відняли менше. Доведіть, що різниця цих чисел ділиться на 9.

12.                      Доведіть, що сума кубів трьох послідовних натуральних чисел ділиться на 9. Скільки можна скласти ланцюжків, маючи два блакитних кільця і три жовтих кільця, якщо кожний ланцюжок може містити тільки 5 кілець? Відповідь 10.

13.                      На фермі 1000 голів тварин(кролів та кур). У них 3150 лап. Кого більше на фермі чотирилапих чи дволапих тварин на фермі.  Відповідь: 575 кролів та 425 кур.

14.                      Третина п’ятої частини деякого числа менша від третьої частини цього числа на 60. Знайти це число.

Відповідь: 225.

Задачі на дослідження та осмислення

  властивостей натуральних чисел

1. Чому дорівнює найменше спільне кратне  трьох послідовних простих чисел? Відповідь: добутку  цих чисел.

2. Чи вірно що НСД(n; n + m) = НСД(n; m)? Відповідь: так, вірно завжди.

3. Чи вірно що НСД(n; n - m) = НСД(n; m)? Відповідь: Так, вірно завжди.

4. Відомо, що натуральне число вигляду n + 4m ділиться на 13. Чи  поділиться на 13 натуральне число вигляду 10n + m? Відповідь: Так, завжди поділиться.

5. Відомо, що натуральне число вигляду 3n + 2m ділиться на 17. Чи  поділиться на 17 натуральне число вигляду 10n + m? Так, завжди поділиться.

6. Який найбільший спільний дільник двох чисел 2n + 1 та   2n – 1? Відповідь: 1.

7. Чи можна серед натуральних чисел вигляду  (n+1)(n+2)(n+3)n   знайти числа, які не діляться на 24? Відповідь: Ні.

3. Чи числа вигляду 10000…..0001, де кількість нулів парна, діляться на 11 націло? Відповідь: Так.

4. При яких натуральних n число вигляду  3n-1 являється точним квадратом натурального числа? Відповідь: Ці числа не являються квадратами

5. При яких натуральних n число вигляду  5n-2  та 5n+2    являється точним квадратом натурального числа? Відповідь: Ці числа не являються квадратами.

6. При яких натуральних n число вигляду  7n+3  та 7n-1, 7n-2   являється  точним  квадратом натурального числа?