Інваріанти для сум цілих чисел

Інваріанти  для сум цілих чисел.

1. Парність суми кількох цілих чисел залежить лише від парності числа непарних доданків: якщо кількість непарних доданків є (не)парна, то-і сума також є (не)парною.

Це можна зрозуміти з таких властивостей парності:

2∙n + 2∙k + … + 2∙f + 2∙q = 2∙(n + k + … + f  + q) = 2∙m

СУМА БУДЬ-ЯКОЇ КІЛЬКОСТІ ПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ ПАРНА.

2∙n – 2∙k – … – 2∙f – 2∙q = 2∙(n – k – … – f  – q) = 2∙m

РІЗНИЦЯ БУДЬ-ЯКОЇ КІЛЬКОСТІ ПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ ПАРНА.

(2∙n -1)+ (2∙k-1)+ … + (2∙f-1) + (2∙q-1) = 2∙(n + k + … + f  + q)- 2s = 2∙(m-s)

СУМА ПАРНОЇ КІЛЬКОСТІ НЕПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ ПАРНА.

(2∙n -1)+ (2∙k-1)+ … + (2∙f-1) + (2∙q-1) = 2∙(n + k + … + f  + q)- 2s -1 = 2∙(m-s) – 1

СУМА НЕПАРНОЇ КІЛЬКОСТІ НЕПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ НЕПАРНА.

Таким чином, парність результату не залежить від розстановки плюсів і мінусів, а залежить тільки від кількості непарних чисел в початковому наборі. Зрозуміло, що сума будь-якої кількості парних чисел є  завжди парним числом.

2. Серед  довільних 2n послідовних цілих чисел кількість  парних і  кількість непарних чисел рівна і дорівнює n.

                             

Наприклад: а)1, 2, 3, 4, 5, 6, ...., 2008. Серед цих 2008 чисел 1004 парних чисел і 1004 непарних чисел;

б)-3.-2,-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Серед цих 10 чисел 5 парних чисел і 5 непарних чисел.

3. Як завгодно можна розставляти знаки плюс та мінус між довільними 2n послідовними цілими числами результат завжди буде парне число.

Наприклад: а)1± 2± 3± 4± 5± 6±  .... ± 2008 = ± 2m. Адже серед цих 2008 чисел 1004 парних чисел і 1004 непарних чисел;

б)-3±(-2)±(-1)±0±1±2±3±4±5±6=± 2m. Адже серед цих 10 чисел 5 парних чисел і 5 непарних чисел.

4.Серед  довільних 2n+1 послідовних цілих чисел кількість  парних і  кількість непарних чисел неоднакова,  різниця кількостей чисел однакової парності завжди рівна одиниці.

Наприклад: а)1, 2, 3, 4, 5, 6, ...., 2007, 2008, 2009. Серед цих 2009 чисел 1004 парних числа і 1005 непарних числа;

б)-7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.  Серед цих 15 чисел 7 парних чисел і 8 непарних чисел.

Як завгодно можна розставляти знаки плюс та мінус між довільними 2n+1 послідовними цілими числами, результат завжди залежить кількості непарних чисел у даному наборі, тобто, результат цих дій буде завжди непарним, якщо в даному наборі кількість непарних  чисел – непарна, і результат буде завжди парним, якщо в даному наборі кількість непарних  чисел – парна.

Наприклад: а)У цьому випадку маємо завжди непарну суму:

1±2±3±4±5±6± .... ±2007±2008±2009= ±(2n+1).

Адже серед цих 2009 чисел 1004 парних числа і 1005 непарних числа;

б) У цьому випадку маємо завжди парну суму:

-7±(-6) ±(-5) ±(-4) ±(-3) ±(-2) ±(-1) ±0±1±2±3±4±5±6±7 = ± 2m.

Адже серед 15 чисел 7 парних чисел і 8 непарних чисел.

в) У цьому випадку маємо завжди непарну суму:

                (2∙n₁ -1) ± (2∙n₂-1) ± … ± (2∙n_2n-2 -1) ± (2∙n_2n-1 -1) = ±(2k+1).

Адже серед 2n-1 цілих чисел усі непарні числа.