Виконайте математичне дослідження
1.
Розв’язати діофантове рівняння
kp
= nm, де k, p, n, m, - цифри десяткової системи, окрім нуля та одиниці та тривіального
розв’язку з усіма однаковими цифрами (n, n, n, n). Розв’язок записати як четвірку: (k, p, n, m).
Наприклад:
729=36=93, (3, 6, 9, 3).
64=26=43, (2, 6,
4, 3).
16 =24=42, (2, 4,
4, 2).
256=28 =44, (2, 4, 4, 4).
6561=38=94, (3, 8, 9, 4).
81=34=92, (3, 4,
9, 2).
2.
Розв’язати
діофантове рівняння 2m = р.
2m º g(mod 10n), де n, m, g, - натуральні
числа.
Найменший n-цифровий
період Тn(2m)=4*5n-1, - це формула геометричної прогресії із
знаменником 5.
4*5n-1– це
кількість n-цифрових розв’язків рівняння 2m º g(mod 10n).
Розглянемо конкретний випадок при
n=3.
Найменший 3-цифровий
період Т3(2m)=4*52=100; тому
сто трицифрових розв’язків
рівняння
2m º g(mod 103) Y={ 128; 256; 512; 024; 048; 096; 192; 384; 768; 536; 072; 144; 288; 576; 152; 304; 608;
216; 432; 864; 728; 456; 912; 824; 648; 296; 592; 184; 368; 736; 472; 944; 888; 776; 552; 104; 208; 416;
832; 664; 328; 656; 312; 624; 248; 496; 992; 984; 968; 936; 872; 744; 488; 976; 952; 904; 808; 616; 232;
464; 928; 856; 712; 424; 848; 696; 392; 784; 568; 136; 272; 544; 088; 176; 352; 704; 408; 816; 632; 264;
528; 056; 112; 224; 448; 896; 792; 584; 168; 336; 672; 344; 688; 376; 752; 504, 008; 016; 032; 064}.
Розглянемо конкретний випадок при
n=2.
Найменший двоцифровий
період Т2(2m)=4*5=20, тому
двадцять двоцифрових розв’язків рівняння
2m º g(mod 102) Y={, 02, 04, 08, 16, 32, 64, 28, 56, 12, 24, 48, 96, 92, 84, 68, 36, 72, 44,
88,76, 52}.
Розглянемо конкретний випадок при
n=1.
Найменший одноцифровий період Т1(2m)=4,
ТОМУ чотири одноцифрових розв’язків рівняння
2m º g(mod 10) Y={2, 4, 8, 6}.
|
Якщо k=2, тоді 2m = n
|
Найменший n-цифровий
період Тn(2m)=4*5n-1
|
|
|
Період розряду одиниць
2m º g(mod 10)
|
Період
розрядів
одиниць, десятків
2m º g(mod 100)
|
Період розрядів
одиниць, десятків, сотень
2m º g(mod 1000)
|
|
Найменший період Т=4,
Розряд одиниць
2a*100,
період(1, 2, 4, 8 ,6)
2m = 1, m=0;
2m =2, m=1;
2m =4, m=2;
2m =8, m=3;
|
Найменший період Т=20,
Розряди десятків та одиниць
a1*101 +a0*100,
період(01, 02, 04, 08, 16, 32, 64, 28, 56, 12, 24, 48, 96, 92, 84, 68, 36, 72, 44, 88,76, 52)
2m = 1, m=0;
2m =2, m=1;
2m =4, m=2;
2m =8, m=3;
2m =16, m=4;
2m = 32, m=5;
2m = 64, m=6;
|
Найменший період Т=100,
Розряди
одиниць, десятків, сотень
a2*102 + a1*101 +a0*100,
період(001;
002; 004; 008; 016; 032; 064; 128; 256; 512; 024; 048; 096; 192; 384; 768; 536; 072; 144; 288; 576; 152; 304; 608; 216; 432; 864; 728; 456; 912; 824; 648; 296; 592; 184; 368; 736; 472; 944; 888; 776; 552; 104; 208; 416; 832; 664; 328; 656; 312; 624; 248; 496; 992; 984; 968; 936; 872; 744; 488; 976; 952; 904; 808; 616; 232; 464; 928; 856; 712; 424; 848; 696; 392; 784; 568; 136; 272; 544; 088; 176; 352; 704; 408; 816; 632; 264; 528; 056; 112; 224; 448; 896; 792; 584; 168; 336; 672; 344; 688; 376; 752; 504(2102), …
2m = 1, m=0;
2m =2, m=1;
2m =4, m=2;
2m =8, m=3;
2m =16, m=4;
2m = 32, m=5;
2m = 64, m=6;
2m = 128, m=7;
2m =256, m=8;
2m =512, m=9;
2m =1024, m=10;
2m =2048, m=11;
2m =4096, m=12;
2m =8192, m=13
|
|
24q+1 º 2(mod 10)
|
220m+2º 04(mod 100)
|
2100m+2º 004(mod 1000)
|
|
24q+2 º 4(mod 10)
|
220m+3º 08(mod 100)
|
2100m+3º 008(mod 1000)
|
|
24q+3 º 8(mod 10)
|
220m+4º 16(mod 100)
|
2100m+4º 016(mod 1000)
|
|
24q+4 º 6(mod 10)
|
220m+5º 32(mod 100)
|
2100m+5º 032(mod 1000)
|
|
|
220m+6º 64(mod 100)
|
2100m+6º 064(mod 1000)
|
|
|
……………….
|
…………………..
|
|
|
……………….
|
……………..
|
|
|
……………………
|
…………………..
|
|
|
220m+18º 44(mod 100)
|
2100m+98º 344(mod 1000)
|
|
|
220m+19º 88(mod 100)
|
2100m+99º 688(mod 1000)
|
|
|
220m+21º 52(mod 100)
|
2100m+100º 376(mod 1000)
|
|
|
220m+22º 04(mod 100)
|
2100m+101º 752(mod 1000)
|
|
|
|
2100m+102º 504(mod 1000)
|
|
|
|
2100m+103º 008(mod 1000)
|
|
|
|
2100m+104º 016(mod 1000)
|
Відповідь:
р={2, 4; 8; 16; 32; 64; 128; 256; 512; 024; 048; 096; 192; 384; 768; 536; 072; 144; 288; 576; 152; 304; 608;
216; 432; 864; 728; 456; 912; 824; 648; 296; 592; 184; 368; 736; 472; 944; 888; 776; 552; 104; 208; 416;
832; 664; 328; 656; 312; 624; 248; 496; 992; 984; 968; 936; 872; 744; 488; 976; 952; 904; 808; 616; 232;
464; 928; 856; 712; 424; 848; 696; 392; 784; 568; 136; 272; 544; 088; 176; 352; 704; 408; 816; 632; 264;
528; 056; 112; 224; 448; 896; 792; 584; 168; 336; 672; 344; 688; 376; 752; 504(2102), …}.
3.
Розв’язати
діофантове рівняння 3m
= р.
3m º g(mod 10n), де n, m, g, - натуральні
числа.
Найменший n-цифровий
період Тn(3m)=4*5n-1, - це формула геометричної прогресії із
знаменником 5.
4*5n-1– це
кількість n-цифрових розв’язків рівняння 3m º g(mod 10n).
Розглянемо конкретний випадок при
n=3.
Найменший трицифровий період Т3(3m)=100, сто трицифрових розв’язків рівняння
3m º g(mod 103) Y={243; 729; 187; 561; 683; 049; 147; 441; 323; 969; 907; 721; 163; 489; 467; 401; 203; 609; 827; 481; 443; 329; 987; 961; 883; 649; 947; 841; 523; 569; 707; 121; 363; 089; 267; 801; 403; 209; 627; 881; 643; 929; 787; 361; 083; 249; 747; 241; 723; 169; 507; 521; 563; 689; 067; 201; 603; 809; 427; 281; 843; 529; 587; 761; 283; 849; 547; 641; 923; 769; 307; 921; 763; 289; 867; 601; 803; 409; 227; 681; 043; 129; 387; 161; 483; 449; 347; 041; 123; 369; 107; 321; 963; 889; 667; 001; 003; 009; 027; 081}.
Розглянемо конкретний випадок при
n=2.
Найменший двоцифровий період Т2(3m)=20, двадцять двоцифрових розв’язків
рівняння
3m º g(mod 102) Y={03; 09;
27; 81; 43;
29; 87; 61;
83; 49; 47;
41; 23; 69;
07; 21; 63;
89; 67; 01}.
Розглянемо конкретний випадок при
n=1.
Найменший одноцифровий період Т1(3m)=4,
тому одноцифрових розв’язків рівняння
3m º g(mod 10) Y={3, 9, 7, 1}.
|
Якщо k=3, тоді 3m = n
|
Найменший n-цифровий
період Тn(3m)=4*5n-1
|
|
|
Період розряду
одиниць
3m º g(mod 10)
|
2-розрядний період
десятків і одиниць
3m º g(mod 100)
|
3-розрядний період
одиниць, десятків, сотень
3m º g(mod 1000)
|
|
Період Т=4,
Розряд одиниць
a*100,
період(3, 9, 7, 1)
3m = 1, m=0;
3m =3, m=1;
3m =9, m=2;
|
Період Т=20,
Розряди десятків та одиниць
a1*101 +a0*100,
період(03; 09;
27; 81; 43;
29; 87; 61;
83; 49; 47;
41; 23; 69;
07; 21; 63;
89; 67; 01)
3m = 1, m=0;
3m =3, m=1;
3m =9, m=2;
3m =27, m=3;
3m =81, m=4;
|
Період Т=100,
Розряди
одиниць, десятків, сотень
a2*102 + a1*101 +a0*100,
період(001; 003; 009; 027; 081; 243; 729; 187; 561; 683; 049; 147; 441; 323; 969; 907; 721; 163; 489; 467; 401; 203; 609; 827; 481; 443; 329; 987; 961; 883; 649; 947; 841; 523; 569; 707; 121; 363; 089; 267; 801; 403; 209; 627; 881; 643; 929; 787; 361; 083; 249; 747; 241; 723; 169; 507; 521; 563; 689; 067; 201; 603; 809; 427; 281;
843; 529; 587; 761; 283; 849; 547; 641; 923; 769; 307; 921; 763; 289; 867; 601; 803; 409; 227; 681; 043;
129; 387; 161; 483; 449; 347; 041; 123; 369; 107; 321; 963; 889; 667; 001; …)
3m = 1, m=0;
3m =3, m=1;
3m =9, m=2;
3m =27, m=3;
3m =81, m=4;
3m = 243, m=5;
3m = 729, m=6;
3m = 2187, m=7;
3m =6561, m=8;
3m =19683, m=9;
|
|
34q+1 º 3(mod 10)
|
320mº 01(mod 100)
|
3100m+1º 003(mod 1000)
|
|
34q+2 º 9(mod 10)
|
320m+1º 03(mod 100)
|
3100m+2º 009(mod 1000)
|
|
34q+3 º 7(mod 10)
|
320m+2º 09(mod 100)
|
3100m+3º 027(mod 1000)
|
|
34q+4 º 1(mod 10)
|
320m+3º 27(mod 100)
|
3100m+4º 081(mod 1000)
|
|
|
320m+4º 81(mod 100)
|
3100m+5º243(mod 1000)
|
|
|
320m+5º 43(mod 100)
|
3100m+6º 729(mod 1000)
|
|
|
320m+6º 29(mod 100)
|
3100m+7º 187(mod 1000)
|
|
|
……………………
|
…………………..
|
|
|
320m+18º 44(mod 100)
|
3100m+98º 889(mod 1000)
|
|
|
320m+19º67(mod 100)
|
3100m+99º 667(mod 1000)
|
|
|
320m+20º 01(mod 100)
|
3100m+100º001(mod 1000)
|
|
|
320m+21º 03(mod 100)
|
3100m+101º 003(mod 1000)
|
|
|
|
3100m+102º 009(mod 1000)
|
|
|
|
3100m+103º 027(mod 1000)
|
|
|
|
3100m+104º 081(mod 1000)
|
ВІДПОВІДЬ: Р={243; 729; 187; 561; 683; 049; 147; 441; 323; 969; 907; 721; 163; 489; 467; 401; 203; 609; 827; 481; 443; 329; 987; 961; 883; 649; 947; 841; 523; 569; 707; 121; 363; 089; 267; 801; 403; 209; 627; 881; 643; 929; 787; 361; 083; 249; 747; 241; 723; 169; 507; 521; 563; 689; 067; 201; 603; 809; 427; 281; 843; 529; 587; 761; 283; 849; 547; 641; 923; 769; 307; 921; 763; 289; 867; 601; 803; 409; 227; 681; 043; 129; 387; 161; 483; 449; 347; 041; 123; 369; 107; 321; 963; 889; 667; 001; 003; 009; 027; 081}.
4.
Розв’язати
діофантове рівняння 4m
= р.
4m º22m º g(mod 10n), де n, m, g, - натуральні числа.
Найменший n-цифровий
період Тn(4m)=2*5n-1, - це формула
геометричної прогресії із знаменником 5.
2*5n-1– це
кількість n-цифрових розв’язків рівняння 4m º g(mod 10n).
Розглянемо конкретний випадок при
n=3.
Найменший трицифровий період Т3(4m)=50; п’ятдесят трицифрових розв’язків рівняння
4m º g(mod 103) Y={256; 024; 96; 384; 536; 144; 576; 304; 216; 864; 456; 824; 296; 184; 736; 944; 776; 104; 416; 664; 656; 624; 496; 984; 936; 744; 976; 904; 616; 464; 856; 424; 696; 784; 136; 544; 176; 704; 816; 264; 056; 224; 896; 584; 336; 344; 376; 504; 016; 064; 256; 024; 096; 384; 536; 144; ….}.
Розглянемо конкретний випадок при
n=2.
Найменший двоцифровий період Т2(4m)=10, десять двоцифрових розв’язків
рівняння
4m º g(mod 102) Y={04; 16; 64; 56; 24; 96; 84; 36; 44; 76}.
Розглянемо конкретний випадок при
n=1.
Найменший одноцифровий період Т1(4m)=2, два одноцифрових розв’язків рівняння 4m
º g(mod 102) Y={4; 6}.
|
Якщо k=4, тоді 4m = n
|
Найменший n-цифровий
період Тn(4m)=2*5n-1
|
|
|
Період розряду
одиниць
4m º g(mod 10)
|
2-розрядний період
десятків і одиниць
4m º g(mod 100)
|
3-розрядний період
одиниць, десятків, сотень
4m º g(mod 1000)
|
|
Період Т=2,
Розряд одиниць
a*100,
період(4, 6, 4, 6)
4m = 1, m=0;
4m =4, m=1;
4m =16, m=2;
|
Період Т=10,
Розряди десятків та одиниць
a1*101 +a0*100,
період(04; 16; 64; 56; 24; 96; 84; 36; 44; 76;)
4m = 1, m=0;
4m =4, m=1;
4m =16, m=2;
4m =64, m=3;
4m =256, m=4;
|
Період Т=50,
Розряди
одиниць, десятків, сотень
a2*102 + a1*101 +a0*100,
період(004; 016; 064; 256; 024; 096; 384; 536; 144; 576; 304; 216; 864; 456; 824; 296; 184; 736; 944; 776; 104; 416; 664; 656; 624; 496; 984; 936; 744; 976; 904; 616; 464; 856; 424; 696; 784; 136; 544; 176; 704; 816; 264; 056; 224; 896; 584; 336; 344; 376; 504; 016….}.)
4m = 1, m=0;
4m =4, m=1;
4m =16, m=2;
4m =64, m=3;
4m =256, m=4;
4m = 1024, m=5;
4m = 4096, m=6;
4m = 16384, m=7;
4m =65536, m=8;
4m =262144, m=9;
|
|
42q+1 º 4(mod 10)
|
410mº 1(mod 100)
|
450m+1º 004(mod 1000)
|
|
42q+2 º6(mod 10)
|
410m+1º 04(mod 100)
|
450m+2º 016(mod 1000)
|
|
42q+3 º 4(mod 10)
|
410m+2º 16(mod 100)
|
450m+3º 064(mod 1000)
|
|
42q+4 º 6(mod 10)
|
410m+3º 64(mod 100)
|
450m+4º 256(mod 1000)
|
|
|
410m+4º 56(mod 100)
|
450m+5º024(mod 1000)
|
|
|
410m+5º 24(mod 100)
|
450m+6º 096(mod 1000)
|
|
|
410m+6º 96(mod 100)
|
450m+7º 384(mod 1000)
|
|
|
410m+7º 84(mod 100)
|
…………………..
|
|
|
410m+8º36 (mod 100)
|
450m+48º 336(mod 1000)
|
|
|
410m+9º44 (mod 100)
|
450m+49º 344(mod 1000)
|
|
|
410m+10º 76(mod 100)
|
450m+50º376(mod 1000)
|
|
|
410m+11º 04(mod 100)
|
450m+51º 504(mod 1000)
|
|
|
|
450m+52º 016(mod 1000)
|
|
|
|
450m+53º 064(mod 1000)
|
|
|
|
450m+54º 256(mod 1000)
|
Відповідь: Y={4; 16; 64; 256; 024; 96; 384; 536; 144; 576; 304; 216; 864; 456; 824; 296; 184; 736; 944; 776; 104; 416; 664; 656; 624; 496; 984; 936; 744; 976; 904; 616; 464; 856; 424; 696; 784; 136; 544; 176; 704; 816; 264; 056; 224; 896; 584; 336; 344; 376; 504; 016; 064; 256; 024; 096; 384; 536; 144; ….}.
5.
Розв’язати діофантове рівняння
6m = р.
6m º2m3m º g(mod 10n), де n, m, g, - натуральні числа.
Найменший n-цифровий
період Тn(6m)=5n-1, - це формула
геометричної прогресії із знаменником 5.
5n-1– це
кількість n-цифрових розв’язків рівняння 6m º g(mod 10n).
Найменший трицифровий період Т3(6m)=25; двадцять п’ять трицифрових розв’язків рівняння
6m º g(mod 103) Y={6; 36; 216; 296; 776; 656; 936; 616; 696; 176; 056; 336; 016; 096; 576; 456; 736; 416; 496; 976; 856; 136; 816; 896; 376; 256; 536; 216; 296;….}
Найменший двоцифровий період
Т2(6m)=5, п’ять двоцифрових
розв’язків рівняння 6m º g(mod 102) Y={ 36; 16; 96; 76; 56}.
Найменший одноцифровий період Т1(6m)=1, один одноцифровий
розв’язок рівняння
6m º g(mod 10) Y={6}
|
Якщо k=6, тоді 6m = n
|
Найменший n-цифровий
період Тn(6m)=5n-1
|
|
|
Період розряду
одиниць
6m º g(mod 10)
|
2-розрядний період
десятків і одиниць
6m º g(mod 100)
|
3-розрядний період
одиниць, десятків, сотень
6m º g(mod 1000)
|
|
Період Т=1,
Розряд одиниць
a*100,
період(6, 6, 6, 6)
6m = 1, m=0;
6m =6, m=1;
6m =36, m=2;
|
Період Т=5,
Розряди десятків та одиниць
a1*101 +a0*100,
період(06; 36; 16; 96; 76; 56; 36; 16; 96; 76; 56; 36;
16; ….)
6m = 1, m=0;
6m =6, m=1;
6m =36, m=2;
6m =216, m=3;
6m =1296, m=4;
|
Період Т=25,
Розряди
одиниць, десятків, сотень
a2*102 + a1*101 +a0*100,
період(001; 006; 036; 216; 296; 776; 656; 936; 616; 696; 176; 056; 336; 016; 096; 576; 456; 736; 416; 496; 976; 856; 136; 816; 896; 376; 256; 536; 216; 296;….}
6m = 1, m=0;
6m =6, m=1;
6m =36, m=2;
6m =216, m=3;
6m =1296, m=4;
6m = 7776, m=5;
6m =46656, m=6;
6m = 279936, m=7;
6m =1679616, m=8;
6m =10077696, m=9;
|
|
64q+1 º 6(mod 10)
|
65m+2º 36(mod 100)
|
625m+1º 006(mod 1000)
|
|
64q+2 º 6(mod 10)
|
65m+3º16(mod 100)
|
625m+2º 036(mod 1000)
|
|
64q+3 º 6(mod 10)
|
65m+2º 96(mod 100)
|
625m+3º 216(mod 1000)
|
|
64q+4 º 6(mod 10)
|
65m+3º 76(mod 100)
|
625m+4º 296(mod 1000)
|
|
|
65m+4º 56(mod 100)
|
625m+5º776(mod 1000)
|
|
|
65m+5º 36(mod 100)
|
625m+6º 656(mod 1000)
|
|
|
65m+6º 16(mod 100)
|
625m+7º 936(mod 1000)
|
|
|
65m+7º 96(mod 100)
|
…………………..
|
|
|
|
625m+22º 896(mod 1000)
|
|
|
|
625m+23º376(mod 1000)
|
|
|
|
625m+24º256(mod 1000)
|
|
|
|
625m+25º 536(mod 1000)
|
|
|
|
625m+26º 216(mod 1000)
|
Відповідь: Y={6; 36; 216; 296; 776; 656; 936; 616; 696; 176; 056; 336; 016; 096; 576; 456; 736; 416; 496; 976; 856; 136; 816; 896; 376; 256; 536; 216; 296;….}
6.
Рівняння 7m º g(mod 10n), де n, m, g - натуральні
числа.
Найменший n-цифровий
період Тn(7m)=4*5n-2, - це формула
геометричної прогресії із знаменником 5.
4*5n-2 – це
кількість n-цифрових розв’язків рівняння 7m º g(mod 10n).
Найменший трицифровий період Т3(7m)=20;
Двадцять трицифрових
розв’язки рівняння 7m º g(mod 103), Y={7; 49; 343; 401; 807; 649; 543; 801; 607; 249; 743; 201; 407; 849; 943; 601; 207; 449; 143; 001; 007; 049; 343; …}
Найменший двоцифровий період
Т2(7m)=4,
чотири двоцифрових
розв’язки рівняння 7m º g(mod 102) Y={07; 49; 43; 01}
Найменший одноцифровий період Т1(7m)=4, чотири одноцифрових розв’язки
рівняння
7m º g(mod 10) Y={7; 9; 3; 1}
|
Якщо k=7, тоді 7m = n
|
Найменший n-цифровий
період Тn(7m)=4*5n-2
|
|
|
Період розряду одиниць
7m º g(mod 10)
|
Період розрядів
одиниць, десятків
7m º g (mod 100)
|
Період розрядів
одиниць, десятків, сотень
7m º g(mod 1000)
|
|
Найменший період Т=4,
Розряд одиниць
2a*100,
період(1, 7, 9, 3, 1, …)
7m = 1, m=0;
7m =7, m=1;
7m =49, m=2;
7m =343, m=3;
|
Найменший період Т=4,
Розряди десятків та одиниць
a1*101 +a0*100,
період(01, 07, 49, 43, 01, 07, 49, 43, …)
7m = 1, m=0;
7m =7, m=1;
7m =49, m=2;
7m =343, m=3;
7m =2401, m=4;
7m = 16807, m=5;
7m = 117649, m=6;
|
Найменший період Т=20,
Розряди
одиниць, десятків, сотень
a2*102 + a1*101 +a0*100,
період{7; 49; 343; 401; 807; 649; 543; 801; 607; 249; 743; 201; 407; 849; 943; 601; 207; 449; 143; 001; 007; 049; 343; …}
7m = 1, m=0;
7m =7, m=1;
7m =49, m=2;
7m =343, m=3;
7m =2401, m=4;
7m = 16807, m=5;
7m = 117649, m=6;
7m = 823543, m=7;
7m =5764801, m=8;
7m =403536607, m=9;
7m =2824752449, m=10;
7m =1977326743, m=11
|
|
74q+1 º7(mod 10)
|
74q+1 º07(mod 100)
|
720m+2º 049(mod 1000)
|
|
74q+2 º 9(mod 10)
|
74q+2 º 49(mod 100)
|
720m+3º 343(mod 1000)
|
|
74q+3 º 3(mod 10)
|
74q+3 º43(mod 100)
|
720m+4º 401(mod 1000)
|
|
74q+4 º 1(mod 10)
|
74q+4 º 01(mod 100)
|
720m+5º 807(mod 1000)
|
|
|
720m+5º 07(mod 100)
|
7100m+6º 649(mod 1000)
|
|
|
|
…………………..
|
|
|
|
……………..
|
|
|
|
…………………..
|
|
|
|
720m+18º 449(mod 1000)
|
|
|
|
720m+19º 143(mod 1000)
|
|
|
|
720m+20º 001(mod 1000)
|
|
|
|
720m+21º 007(mod 1000)
|
1.
Рівняння 5m º g(mod 10n), де n, m, g - натуральні
числа.
Найменший n-цифровий
період Тn(5m)=2n-2, - це формула
геометричної прогресії із знаменником 2.
2n-2*5n-n – це кількість n-цифрових
розв’язків рівняння 5m º g(mod 10n).
Найменший трицифровий період Т3(5m)=2;
Два трицифрових розв’язки
рівняння 5m º g(mod 103), Y={125; 625}
Найменший двоцифровий період
Т2(5m)=1,
Один одноцифровий розв’язок рівняння рівняння 5m
º g(mod 102) Y={25}.
Найменший одноцифровий період Т1(7m)=1,
один одноцифровий розв’язок рівняння
5m º g(mod 10) Y={5}
|
Якщо k=5, тоді 5m = n
|
Найменший n-цифровий
період Тn(5m)=2n-2
|
|
|
Період розряду
одиниць
5m º g(mod 10)
|
2-розрядний період
десятків і одиниць
5m º g(mod 100)
|
3-розрядний період
одиниць, десятків, сотень
5m º g(mod 1000)
|
|
Період Т=1,
Розряд одиниць
a*100,
період1,5, 5, 5)
5m = 1, m=0;
5m =5, m=1;
5m =25, m=2;
|
Період Т=1,
Розряди десятків та одиниць
a1*101 +a0*100,
період(1; 25; 25; 25; 25;…)
5m = 1, m=0;
5m =5, m=1;
5m =25, m=2;
5m =125, m=3;
5m =625, m=4;
|
Період Т=2,
Розряди
одиниць, десятків, сотень
a2*102 + a1*101 +a0*100,
період(001; 005; 025; 125; 625; 125; 625; 125; ….}.)
5m = 1, m=0;
5m =5, m=1;
5m =25, m=2;
5m =125, m=3;
5m =625, m=4;
5m = 3125, m=5;
5m = 15625, m=6;
5m =78125, m=7;
5m =390625, m=8;
5m =1953125, m=9;
|
|
52q+1 º 5(mod 10)
|
52q+1 º 25(mod 100)
|
52m+1º 125(mod 1000) m>1;
|
|
52q+2 º5(mod 10)
|
52q º 25(mod 100)
|
42m+2º 625(mod 1000) m>1;
|
|
52q+3 º 5(mod 10)
|
52q-1 º 25(mod 100)
|
42m+3º125(mod 1000)
|
|
52q+4 º 5(mod 10)
|
|
42m+4º 625(mod 1000)
|
1.
Розв’язати
діофантове рівняння 8m = р.
8m º g(mod 10n), де n, m, g, - натуральні
числа.
Найменший n-цифровий
період Тn(8m)=4*5n-1, - це формула геометричної прогресії із
знаменником 5.
4*5n-1– це
кількість n-цифрових розв’язків рівняння 8m º g(mod 10n).
Розглянемо конкретний випадок при
n=3.
Найменший 3-цифровий
період Т3(8m)=4*52=100;
тому сто трицифрових розв’язків рівняння
8m º g(mod 103) Y={ 008; 064; 512; 096; 768; 144; 152; 216; 728; 824; 592; 736; 888; 104; 832; 656; 248; 984; 872; 976; 808; 464; 712; 696; 568; 544; 352; 816; 528; 224; 792; 336; 688; 504; 032; 256; 048; 384; 072; 576; 608; 864; 912; 296; 368; 944; 552; 416; 328; 624; 992; 936; 488; 904; 232; 856; 848; 784; 272; 176; 408; 264; 112; 896; 168; 344; 752; 016; 128; 024; 192; 536; 288; 304; 432; 456; 648; 184; 472; 776; 208; 664; 312; 496; 968; 744; 952; 616; 928; 424; 392; 136; 088; 704; 632; 056; 448; 584; 672; 376}.
Розглянемо конкретний випадок при
n=2.
Найменший двоцифровий
період Т2(8m)=4*5=20, тому
двадцять двоцифрових розв’язків рівняння
8m º g(mod 102) Y={08; 64; 12; 96; 68; 44; 52; 16; 28; 24; 92; 36; 88; 04; 32; 56; 48; 84; 72; 76}.
Розглянемо конкретний випадок при
n=1.
Найменший одноцифровий період Т1(2m)=4,
njve чотири одноцифрових розв’язків
рівняння
8m º g(mod 10) Y={8, 4, 2, 6}.
|
Якщо k=8, тоді 8m = n
|
Найменший n-цифровий
період Тn(8m)=4*5n-1
|
|
|
Період розряду
одиниць
8m º g(mod 10)
|
2-розрядний період
десятків і одиниць
8m º g(mod 100)
|
3-розрядний період
одиниць, десятків, сотень
8m º g(mod 1000)
|
|
Період Т=4,
Розряд одиниць
a*100,
період(8, 4, 2, 6)
8m = 1, m=0;
8m =8, m=1;
8m =64, m=2;
8m =512, m=3;
8m =4096, m=4;
|
Період Т=20,
Розряди десятків та одиниць
a1*101 +a0*100,
період(08; 64; 12; 96; 68; 44; 52; 16; 28; 24; 92; 36; 88; 04; 32; 56; 48; 84; 72; 76)
8m = 1, m=0;
8m =8, m=1;
8m =64, m=2;
8m =512, m=3;
8m =4096, m=4;
|
Період Т=100,
Розряди
одиниць, десятків, сотень
a2*102 + a1*101 +a0*100,
період{8; 64; 512; 096; 768; 144; 152; 216; 728; 824; 592; 736; 888; 104; 832; 656; 248; 984; 872; 976; 808; 464; 712; 696; 568; 544; 352; 816; 528; 224; 792; 336; 688; 504; 032; 256; 048; 384; 072; 576; 608; 864; 912; 296; 368; 944; 552; 416; 328; 624; 992; 936; 488; 904; 232; 856; 848; 784; 272; 176; 408; 264; 112; 896; 168; 344; 752; 016; 128; 024; 192; 536; 288; 304; 432; 456; 648; 184; 472; 776; 208; 664; 312; 496; 968; 744; 952; 616; 928; 424; 392; 136; 088; 704; 632; 056; 448; 584; 672; 376; 008; 064; 512; …}
8m = 1, m=0;
8m =8, m=1;
8m =64, m=2;
8m =512, m=3;
8m =4096, m=4;
8m =32768, m=5;
8m = 262144, m=6;
8m = 2097152, m=7;
8m =16777216, m=8;
8m =134217728, m=9;
|
|
84q+1 º 8(mod 10)
|
820mº 08(mod 100)
|
8100m+1º 008(mod 1000)
|
|
84q+2 º 4(mod 10)
|
820m+1º 64(mod 100)
|
8100m+2º 064(mod 1000)
|
|
84q+3 º 2(mod 10)
|
820m+2º 12(mod 100)
|
8100m+3º 512(mod 1000)
|
|
84q+4 º 6(mod 10)
|
820m+3º 96(mod 100)
|
8100m+4º 096(mod 1000)
|
|
|
820m+4º68(mod 100)
|
8100m+5º768(mod 1000)
|
|
|
820m+5º 44(mod 100)
|
8100m+6º 144(mod 1000)
|
|
|
820m+6º 52(mod 100)
|
8100m+7º 152(mod 1000)
|
|
|
……………………
|
…………………..
|
|
|
820m+18º 84(mod 100)
|
8100m+98º 584(mod 1000)
|
|
|
820m+19º72(mod 100)
|
8100m+99º 672(mod 1000)
|
|
|
820m+20º 76(mod 100)
|
8100m+100º376(mod 1000)
|
|
|
820m+21º 08(mod 100)
|
8100m+101º
008(mod 1000)
|
|
|
|
8100m+102º
064(mod 1000)
|
|
|
|
8100m+103º 512(mod 1000)
|
|
|
|
8100m+104º
096(mod 1000)
|
Розглянемо спочатку найпростіші діофантові рівняння вигляду: km = n
Діофантове рівняння виду km-100n=g, де (k, m, n, g) – четвірка натуральних чисел, немає розв’язків для довільних натуральних k, m, n, якщо
g = {10, 11, 13, 14, 15,17, 18, 19, 20, 22, 26, 30, 31, 33, 34, 35,37, 38, 39, 40, 42, 45, 46, 50 , 51,53, 54, 55,57, 58, 59, 60, 62, 66, 65, 70, 71, 73, 74, 75,77, 78, 79, 80, 82, 85, 86,87, 90 , 91, 93, 94, 95,97, 98, 99} .
Діофантове рівняння виду km-100n=g, де (k, m, n, g) – четвірка натуральних чисел, має розв’язки для деяких натуральних k, m, n, якщо
g = { 00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 12,16, 21,23, 24, 25, 27, 28, 29, 32, 36, 41, 43, 44 , 47, 48, 49, 52,56, 61, 63, 64, 67, 68, 69, 72,76, 81,83, 84, 88, 89, 92, 96} .
Таблиця довжини двоцифрових періодів степенів цифр.
(Степеневі лишком і при діленні на 100)
м п º аб (по модулю 100).
основа
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
Довжинадвоцифрового
періоду ….аb
|
20(поч. з 04)
|
20
|
10
|
1
|
5
|
4
|
20
|
10
|
Довжинаодноцифрового
періоду ….аb
|
4
|
4
|
2
|
1
|
1
|
4
|
4
|
2
|
Критерій
парності
двох цифр лишку
|
K & 2 п
|
2 до & 2 п +1
|
K & 2 п
|
& 2k 2 п + 1
|
2k + 1 і 2 п
|
& 2k 2 п + 1
|
& K 2 п
|
& 2k 2 п + 1
|
м 1
|
02
|
03
|
04
|
0 5
|
0 6
|
07
|
08
|
09
|
м 2
|
04
|
09
|
16
|
25
|
36
|
49
|
64
|
81
|
м 3
|
08
|
27
|
64
|
25
|
1 6
|
43
|
12
|
29
|
m 4
|
16
|
81
|
5 6
|
25
|
9 6
|
01
|
96
|
61
|
м 5
|
32
|
43
|
24
|
25
|
7 6
|
07
|
68
|
49
|
m 6
|
64
|
29
|
96
|
25
|
5 6
|
49
|
44
|
41
|
м 7
|
28
|
87
|
84
|
25
|
3 6
|
43
|
52
|
69
|
м 8
|
56
|
61
|
36
|
25
|
1 6
|
01
|
16
|
21
|
м 9
|
12
|
83
|
44
|
25
|
9 6
|
07
|
28
|
89
|
м 10
|
24
|
49
|
76
|
25
|
7 6
|
49
|
24
|
01
|
M 11
|
48
|
47
|
04
|
25
|
5 6
|
43
|
92
|
09
|
м 12
|
96
|
41
|
16
|
25
|
36
|
01
|
36
|
81
|
м 13
|
92
|
23
|
64
|
25
|
1 6
|
07
|
88
|
29
|
м 14
|
84
|
69
|
56
|
25
|
9 6
|
49
|
04
|
61
|
м 15
|
68
|
07
|
24
|
25
|
7 6
|
43
|
32
|
49
|
м 16
|
36
|
21
|
96
|
25
|
5 6
|
01
|
56
|
41
|
м 17
|
72
|
63
|
84
|
25
|
36
|
07
|
48
|
69
|
м 18
|
44
|
89
|
36
|
25
|
1 6
|
49
|
84
|
21
|
м 19
|
88
|
67
|
44
|
25
|
9 6
|
43
|
72
|
89
|
м 20
|
76
|
01
|
76
|
25
|
7 6
|
01
|
76
|
01
|
м 21
|
52
|
03
|
04
|
25
|
5 6
|
07
|
08
|
09
|
Отже, можливі тільки такі степеневі двоцифрові лишки за модулем 100 для степенів цифр: 00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 12,16, 21,23,
24, 25, 27, 28, 29, 32, 36, 41, 43, 44, 47, 48, 49, 52,56, 61, 63, 64, 67, 68,
69, 72,76, 81,83, 84, 88, 89, 92, 96.
Отже, натуральна степінь натурального числа
має період повторення двох останніх цифр, який не перевищує 21.
Отже, є гіпотеза, що натуральна степінь натурального числа має період повторення n- останніх цифр, який не перевищує 2n-1*5n-2. Спростуйте або обгрунтуйте!
Отже, є гіпотеза, що натуральна степінь натурального числа має період повторення n- останніх цифр, який не перевищує 2n-1*5n-2. Спростуйте або обгрунтуйте!
Немає коментарів:
Дописати коментар