Задачі на дослідження з теорії чисел

1. Чи вірно, що:

а) число 5⁵ - 5⁴ + 5³ ділиться на 21;

б) число 957² – 43² ділиться на 1000?

Дослідження.

а)      Перетворимо даний вираз:    5⁵ - 5⁴ + 5³ = 5³(5² - 5 + 1) = 5³ ∙ 21.
Як бачимо, дане число ділиться на 21.

б)      Перетворимо даний вираз:

957² - 43² = (957 + 43)(957 - 43) = 1000 • 914. Як бачимо, даний вираз ділиться на 1000.

2. Чи вірно, що при кожному натуральному значенні n:

а) (n + 1)² - (n – 1)² ділиться на 4;

б) (3n + 2)² - (3n - 2)² ділиться на 24;

в) (5n + 3)² - (5n - 3)² ділиться на 60?

Дослідження.

а)      Перетворимо даний вираз:

(n + 1)² - (n - 1)² = (n + 1 + n - 1)(n + 1 - n + 1) = 2n • 2 = 4n. Отриманий вираз кратний 4, тобто ділиться на 4.

б)(3n + 2)² - (3n - 2)² = (3n + 2 +3n - 2)(3n + 2 - 3n + 2) = 6n • 4 = 24n.
Отриманий вираз кратний 24, тобто ділиться на 24.

в)(5n + 3)² - (5n - 3)² = (5n + 3 + 5n - 3)(5n + 3 – 5n + 3) = 10n∙6 = 60n.
Отриманий вираз кратний 60, тобто ділиться на 60.

3. Чи вірно, що квадрат суми двох додатних чисел більший від суми їх квадратів?

Дослідження.

 Нехай дано два додатних числа а і b. Знайдемо квадрат їх суми: (a + b)² = а² + 2аb + b² = (а² + b²) + 2аb.

Оскільки а і b – числа додатні, величина 2аb – також число додатне, отже, квадрат суми двох додатних чисел більший від суми їх квадратів.

4. Чи вірно, що квадрат суми двох чисел більший від їх подвоєного добутку?

Дослідження.

Нехай дано два числа n і m. Знайдемо квадрат їх суми: (n + m)² = n² + 2nm + m² = 2nm + (n² + m²).

Величина m² + n² додатна при будь-яких значеннях n і m, таким чи­ном, квадрат суми двох чисел більший від їх подвоєного добутку.

5. Чи вірно, що різниця квадратів двох непарних чисел ділиться на 4?

Дослідження.

Нехай дано два непарних числа: 2а + 1 і 2b + 1. Знайдемо різницю квад­ратів цих чисел: (2а + 1)² - (2b + 1)² - (2а + 1 + 2b + 1)(2а + 1 – 2b - 1) =  (2а + 2b + 2)(2а – 2b) = 2(а + b + 1) ∙2(а - b) = 4(а + b + 1)(а - b). Отриманий вираз кратний 4, отже, різниця квадратів двох непарних чисел ділиться на 4.

6. Чи вірно, що  різниця квадратів двох послідовних непарних чисел ділиться на 8?

Дослідження.

Нехай дано два послідовних непарних числа 2а + 1 і 2а + 3. Знайдемо різницю квадратів цих чисел:    (2а + 3)² - (2а + 1)² = = (2а + 3 + 2а + 1)(2а + 3 - 2а - 1) = (4а + 4) ∙ 2 = 4 ∙2(а + 1) = 8(а + 1). Отриманий вираз кратний 8, отже, різниця квадратів двох послідовних непарних чисел ділиться на 8.

7. Чи вірно, що різниця квадратів двох послідовних парних чисел на 8 не ділиться?

Дослідження.

Дано два послідовних парних числа: 2а і 2а + 2.

Знайдемо різницю квадратів цих чисел: (2а + 2)² - (2а)² = (2а + 2 + 2а)(2а + 2 - 2а) = (4а + 2) ∙ 2 = 2(2а + 1) ∙ 2 = 4(2а + 1). Як бачимо, різниця квадратів двох послідовних парних чисел на 8 не ділиться, оскільки 2а + 1 – число непарне.

8. Чи вірно, що сума двох послідовних цілих чисел дорівнює різниці їх квадратів?

Дослідження.

Нехай дано два послідовних цілих числа а і а + 1.

Знайдемо їх суму:   

а + а + 1 = 2а + 1.

Знайдемо різницю їх квадратів:

(а + 1)² - а² = (а + 1 + а)(а + 1 - а) = 2а + 1.

Як бачимо, сума двох послідовних цілих чисел дорівнює різниці їх квадратів.

9. Чи вірно, що непарне число дорівнює різниці квадратів двох деяких цілих чисел?

Дослідження.

Будь-яке непарне число можна представити у вигляді виразу 2а + 1. Перетворимо цей вираз:

2а + 1 = 2а + 1 + а² - а² = (а² + 2а + 1) - а² = (а + 1)² - а². Як бачимо, непарне число дорівнює різниці квадратів двох деяких цілих чисел.

10. Чи вірно, що квадрат непарного числа при діленні на 8 дає в остачі 1?

Дослідження.

Нехай дано непарне число 2а + 1.

Квадрат цього числа дорівнює:

 (2а + 1)² = 4а² + 4а + 1 = 4а(а + 1) + 1; число а(а + 1) – парне при будь-яких значеннях а, тоді число 4а(а +1) – кратне 8, тобто ділиться на 8. Отже, квадрат будь-якого непарного чис­ла при діленні на 8 дає в остачі 1.

11. Чи вірно, якщо сума двох натуральних чисел ділиться на 10, то квадрати цих чисел закінчуюються однаковими цифрами?

Дослідження.

Якщо квадрати двох натуральних чисел, сума яких ділиться на 10, закінчуюються однаковими цифрами, то різниця квадратів цих чисел закінчується цифрою 0, тобто кратна 10.

Нехай дано числа а і b, сума яких кратна 10, тоді: а² - b² = (а + b) (а - b). Як бачимо, а² - b² ділиться на 10, оскільки а + b ділиться на 10. Отже, квадрати даних чисел закінчуюються однаковими цифрами.