Cкладання магічного квадрату 3х3 на добутках чисел

Cкладання магічного квадрату 3х3 на добутках чисел

Складемо числовий квадрат 3х3 з дев’яти натуральних (менших 40) так, щоб добуток чисел по кожному рядку, по кожному стовпчику по кожній діагоналі дорівнював одному числу.

Спочатку складемо квадрат з трьох цілих чисел  0, 1, 2.

1	0	2
2	1	0
0	2	1

Кожне число цього магічного квадрату будемо вважати показником для степенів з основами два та три.

21	20	22
22	21	20
20	22	21

У цьому квадраті магічний добуток дорівнює 8.

31	30	32
32	31	30
30	32	31

У цьому квадраті магічний добуток дорівнює 27. Цей квадрат повернемо на 180 градусів відносно центра і поклітинково перемножимо з числами попереднього квадрату з основами два. Отримаємо потрібний нам квадрат.

3221	3020	3122
3022	3121	3220
3120	3222	3021

У цьому квадраті магічний добуток дорівнює числу 27×8= 216 = 6³.

18	1	12
4	6	9
3	36	2

Можна скласти ще цілу множину подібних квадратів, у яких магічний добуток є кубом натурального числа,  якщо використати такий шаблон магічного квадрату для довільних натуральних чисел n i m, k: 

nk+2mk+1	nkmk	nk+1mk+2
nkmk+2	n k+1m k+1	nk+2mk
n k+1mk	nk+2mk+2	nkm k+1

Користуючись цим шаблоном, спробуйте самостійно утворити  декілька подібних числових квадратів 3х3.

Наводимо ще один спосіб утворення магічного квадрату для добутків чисел.

Якщо дано два довільних магічних  квадрати 3х3

а + 3d	а + 8d	а + d
а + 2d	а + 4d	а + 6d
а + 7d	а	а + 5d

n + 3m	n + 8m	n + m
n+ 2m	n + 4m	n + 6m
n + 7m	n	n + 5m

Перетворимо ці магічні таким чином. Вважатимемо, що число у кожній клітинці першого магічного квадрату є показником степення з основою  р і число у кожній клітинці другого магічного квадрату є показником степення з основою  g.

 Отримаємо нові квадрати, для яких зникла   магічна   сума, тобто  не виконується, проте виникла магічний добуток:

ра + 3d	ра + 8d	ра + d
ра + 2d	ра + 4d	ра + 6d
ра + 7d	ра	ра + 5d

gn + 3m	gn + 8m	gn + m
gn+ 2m	gn + 4m	gn + 6m
gn + 7m	gn	gn + 5m

Тепер виконаємо множення тільки тих степенів, які розташовані у відповідних клітинках.  Тобто, накладемо ці два квадрати одне на один, і перемножимо ті степені, які стоять в одній клітинці.

ра + 3d gn + 3m	ра + 8d gn + 8m	ра + d gn + m
ра + 2d gn+ 2m	ра + 4d gn + 4m	ра + 6d gn + 6m
ра + 7d gn + 7m	ра gn	ра + 5d gn + 5m

Останній квадрат можна використати як шаблон для утворення безлічі квадратів з магічним добутком. При цьому, варто зазначити, що числа р і g можна накладити різні умови:  простоти, парності, непарності, кратності, подільності.