Нестандартні задачі для учнів 5 - 7 класів

Задача з теорії чисел – це задача на пошук  складних прихованих невидимих зв'язків,  нестандартність цих відношень іноді унікальна, іноді тривіальна, досліджувати ці відношення варто  за відповідними формулюваннями властивостей прихованих чисел, також  методи перетворень у різні форми запису, представлення чисел ведуть до  розв’язання задачі. Серед числових задач зустрічаються такі, для розв’язання яких потрібні незвичні ідеї та спеціальні методи, так і є легкі задачі, вони більш стандартні, але деякі із них можна розв’язувати тільки оригінальними способами.

         Практично в кожній  учнівській роботі з математики зустрічається, як мінімум, одна задача з геометричної теорії чисел. Саме геометричні  задачі  викликають найбільші труднощі в учнів, і це не тому, що учні погано знають геометрію, а тому, що найбільше штучних прийомів, додаткових побудов використовується саме при розв’язуванні геометричних задач.

         Розпочинати роботу по підготовці успішного учасника математичної  змагань необхідно з самого маленького віку. Коли юний математик приходить в початкову школу, тобто з початкових класів слід готувати майбутнього переможця, тренувати логічне мислення. Задачі на розрізання, склеювання, заміщення, розрізання, ігрові задачі, задачі на складання таблиць істинності, все це під силу самим маленьким учням. Самостійно керувати своєю підготовкою до участі в математичних змаганнях  учень починає з середніх та старших класів.

          Саме з метою дистанційно допомогти учням середніх та старших класів і створена дана дистанційна форма самонавчання. Плекаю мрію, що ця копітка   робота приведе до успіху шанувальників математики. Проведення дистанційних тематичних-практикумів з математики в масштабі міста – перший крок до залучення  учнів до самостійної позакласної роботи з математики. Це лише перший крок до створення постійно діючого контенту для учнів.

          На цій сторінці представлені орієнтовні варіанти олімпіадних завдань рівня шкільної та міської олімпіад. 

  Критерії оцінювання математичної задачі на змаганнях

           

           Загальні критерії оцінювання завдань наведено в таблиці.

7	Повне правильне розв’язання. Усі логічні відношення між об'єктами задачі утворюють цілісний ланцюг слідувань.
6-7	Повне правильне розв’язання. Є невеликі недоліки(технічного характеру), які в цілому не впливають на розв’язання.
5-6	Розв’язання в цілому вірне. Однак воно містить ряд логічних прогалин, помилок, або не розглянуті окремі випадки, але може стати правильним після невеликих  виправлень або доповнень.
4	Правильно  розглянуто один з двох (більш складний) істотних випадків, або в задачі типу «оцінка-приклад» вірно отримана оцінка.
2-3	Доведені тільки допоміжні твердження, що допомагають у розв’язанні задачі.
0-1	Розглянуто окремі важливі випадки за відсутності розв’язання (або при    помилковому розв’язанні).
0	Розв’язання неправильне, просування відсутні. Розв’язання відсутнє.

 Не можна зменшувати кількість балів за те, що розв’язання занадто довге. Виправлення в роботі (закреслення раніше написаного тексту) також не є підставою для зняття балів. У той же час будь-як завгодно довгий текст розв’язання, що не містить корисних просувань, повинен бути оцінений в 0 балів. 

Оцінювання робіт учасників ІІІ(обласного) етапу олімпіади з математики

Для оцінювання робіт доцільно використовувати 7-бальну систему, яка відповідає практиці роботи журі ІV етапу Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики, журі Міжнародних математичних олімпіад тощо.

Критерії оцінювання учнівських робіт розробляються та, у випадку необхідності, корегуються членами журі, які перевіряють роботи в даній паралелі класів (якщо потрібно - із залученням голови журі, його заступників, експерта-консультанта, авторів задач, інших досвідчених членів журі). Журі має забезпечити застосування однакових критеріїв до всіх робіт Розв’язання учасника оцінюється цілою кількістю балів.

Повне бездоганне розв’язання кожної із задач оцінюється в 7 балів; якщо задача складається з декількох пунктів, то ці 7 балів розподіляються між цими пунктами (і тоді для кожного пункту задачі в межах «виділеної» кількості балів розробляються відповідні критерії).

Оцінка в 6 балів виставляється за наявності незначних недоліків і помилок (у тому числі - недостатньо обґрунтованих логічних кроків, але таких, які є правильними і легко обґрунтовуються).

Оцінки в 4 та 5 балів виставляються, якщо міркування учня містять більш значні й суттєві помилки та логічні «прогалини», у деяких випадках, котрі мають ретельно обговорюватись членами журі, - якщо міркування не завершені, але таке завершення є, з точки зору членів журі, відносно нескладним кроком.

Оцінка 3 бали виставляється за значне просування в міркуваннях, яке можна оцінити як "половину" правильного розв’язання. Слід ураховувати, що якщо журі за деякі просування (логічні кроки тощо) виставляє 1-2 бали, то це не означає, що наявність у роботі декількох таких «розрізнених» кроків дозволяє підсумовувати ці бали.

Якщо задачу (без розподілу на пункти) в цілому розв’язано (можливо - з недоліками), то за неї учасник має отримати більше від 3 балів. Якщо задачу учень в цілому не розв’язав, то виставляється не більше за 3 бали.

За розгляд окремих випадків, інші незначні просування та ідеї можуть бути виставлені оцінки в 1 чи 2 бали. Інколи навіть тільки за правильну відповідь (без належного обґрунтування) варто виставити оцінку 1 бал (якщо, наприклад, наведення такої "нетривіальної" відповіді може бути ознакою наявності в учасника математичної інтуїції).

Відсутність розв’язання та міркування, які є зовсім некоректними, не містять ідей, що можуть бути розвинені до розв’язання, оцінюються в 0 балів.

Під час оцінювання олімпіадних робіт не враховується раціональність або нераціональність розв’язань.

Остаточне рішення щодо застосування 7-бальної схеми оцінювання розв’язань у конкретних ситуаціях приймає журі олімпіади з урахуванням математичного змісту задачі, її складності, характеру зроблених помилок.

 Вимоги до змісту, обсягу та рівню складності завдань

Завдання кожного туру для кожного класу складається з 4-5 задач (різної складності та тематичного спрямування). Тривалість туру для кожного класу не повинна перевищувати 4 астрономічні години. Проведення в один день декількох турів не допускається.

Для кожної з паралелей 7-11 класів використовуються різні комплекти завдань (певні задачі можуть пропонуватись для декількох паралелей).

Завдання складаються з урахуванням шкільної програми (за принципом "накопичення підсумку"). Вони включають як задачі, пов’язані з розділами шкільного курсу математики поточного навчального року, так і задачі, що відображають вивчений раніше матеріал.

Учасники ІІІ етапу олімпіади мають володіти не тільки методами, безпосередньо передбаченими навчальними програмами, але й спеціальними прийомами розв’язування олімпіадних задач (для відповідних вікових груп), додатковими теоретичними знаннями, передбаченими програмами факультативних курсів, математичних гуртків, усталеною практикою проведення в Україні математичних олімпіад тощо.

Звертаємо увагу на те, що зміст, обсяг та рівень складності олімпіадних завдань повинні забезпечувати учням можливість якнайповніше розкрити свої здібності. Мають реалізовуватись основні тематичні «лінії» програми загальноосвітних навчальних закладів, програми для шкіл (класів) з поглибленим вивченням математики. Серед задач повинні бути такі, які дозволяють учням проявити не тільки олімпіадні навички та знання методів розв’язування задач суто олімпіадного характеру, але й впевнене володіння методами розв’язування задач підвищеної складності, безпосередньо пов’язаних зі змістом шкільної програми (нестандартні рівняння, системи рівнянь, нерівності, побудова графіків функцій, зображення на координатній площині множин, визначених певними умовами, тригонометричні задачі тощо). З цією метою доцільно використовувати задачні матеріали, аналогічні до презентованих у розділах задач підвищеної складності підручників, рекомендованих (допущених) МОНмолодьспортом України для використання в загальноосвітніх закладах.

Звернемо увагу на необхідність включення до олімпіадних завдань відповідних вікових груп задач комбінаторно-логічного змісту (клітчасті дошки, таблиці, графи, допоміжні "розфарбування", числові набори, математичні ігри, принцип "крайнього елемента", інваріанти, напівінваріанти, принцип Діріхле та ін.), теоретико-числових задач, задач на доведення нерівностей, функціональних співвідношень та інших задач на властивості функцій, задач на властивості цілої та дробової частини числа, різнопланових геометричних задач (для 11 класів - у залежності від структури завдання - доцільно включати до завдань також і олімпіадні стереометричні задачі з вивченого на момент проведення олімпіади матеріалу).

З метою долучення обдарованих учнів до найкращих олімпіадних задач інших країн (що підвищує якість підготовки школярів до міжнародних змагань) під час підготовки завдань ІІІ етапу олімпіади варто всебічно враховувати досвід створення олімпіадних матеріалів фахівцями різних країн, у тому числі - комплекти задач, розміщені на відповідних офіційних сайтах.

 Науково-методичне забезпечення ІІІ етапу олімпіади

Під час складання завдань ІІІ етапу Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики враховується тематика та формат завдань ІІІ та IV етапу олімпіади попереднього навчального року, опублікованих у 2012 році, зокрема, - у газеті "Математика" видавництва "Шкільний світ" (№№ 17,18), журналі "Математика в сучасній школі" видавництва "Педагогічна преса" (№№ 6, 7), журналі "У світі математики" (№№ 1, 2).

Пропонується також використовувати матеріали Всеукраїнських учнівських олімпіад з математики 1991-2011 рр., надрукованих у різних фахових виданнях, та посібники, рекомендовані МОНмолодьспортом України для використання в загальноосвітніх навчальних закладах (переліки таких посібників подаються на офіційних web-ресурсах МОНмолодьспорту України та Інституту інноваційних технологій і змісту освіти). Зокрема, пропонуємо посібники:

1. Лейфура В. М., Мітельман І. М., Радченко В.М., Ясінський В. А. Математичні олімпіади школярів України: 1991–2000 рр.— Київ: Техніка, 2003. — 541 с. (лист МОН України №1/11-102 від 11.01.2002);

2. Лейфура В. М., Мітельман І. М., Радченко В. М., Ясінський В. А. Математичні олімпіади школярів України: 2001–2006 рр.— Львів: Каменяр, 2008. — 348 с. (лист Інституту інноваційних технологій і змісту освіти №1.4/18-Г-759 від 12.11.2010);

3. Математичні олімпіадні змагання школярів України: 2007–2009 рр. (за ред. Б. В. Рубльова). — Львів: Каменяр, 2010. — 549 с. (лист МОН України №1/11-9712 від 30.11.2009);

4. Конет І. М., Паньков В. Г., Радченко В. М., Теплінський Ю. В. Обласні математичні олімпіади. — Кам’янець-Подільський: Абетка, 2000. — 304 с. (лист МОН України № 1107 від 27.10.1997).

Банк тренувальних математичних звершень

для учнів 5 - 7 класів

МАТЕМАТИЧНЕ звершення № 1

1. Є 9 паличок різної довжини від 1 см до 9 см. Квадрати, з якими сторонами і скількома способами можна викласти з даних паличок? Способи складання квадрата вважаються різними, якщо використані різні палички і не обов’язково всі.

·       Чи можна скласти квадрати, довжини сторін яких рівні 1 см? 2 см? … 6см? Чому?

·       Чи можна скласти квадрат, довжина сторони якого 7 см? Як це зробити? Скількома способами його можна викласти? Розгляньте далі усі можливі випадки. Чи можна скласти квадрат, довжина сторони якого рівна 12  см і більше? Чому?

2. У числі 3728954106 викреслити три цифри так, щоб цифри, які залишились, утворили в тому ж порядку найменше (найбільше) семизначне число?

3. На площині дано 6 точок, що розташовані сторонах прямокутника: чотири точки – це вершини даного прямокутника, а дві інші точки – це середини двох протилежних сторін прямокутника.  Скільки існує трикутників, у  яких одна вершина знаходиться в точці вершини прямокутника, а дві інші — в будь-яких даних точках? Скільки існує трикутників, у  яких одна вершина знаходиться в точці середини даного прямокутника, а дві інші — в будь-яких даних точках??

4. На скільки частин можна розбити площину чотирма  прямими? Розгляньте всі можливі випадки і для кожного випадку зробіть малюнок.

5. Скількома способами можна заплатити 78 крб, якщо є номінали в три та п’ять карбованців?

6. За 500 рублів куплено декілька пудів цукру. Якби на ті ж гроші придбано було на 5 пудів більше, то кожен пуд обійшовся на 5 рублів дешевше. Скільки куплено пудів цукру?

7. Чи істинне твердження: «Якщо число р — просте, і р більше ста, але менше 200, то число 210 – р також є простим числом?

Відповіді:

·       Одним способом можна викласти квадрати, у яких довжини сторін 7 см, 8 см, 10см, 11см. П’ятьма способами можна викласти квадрати, зі стороною 9. Знайдіть суму довжин усіх паличок та поділіть його на 4.

·       2854106.

·       9 способів, 9 способів.

·       5, 8, 9, 10, 11.

·       Шість способів.3* 26, 2* 21+5*3, 3* 16+ 5*6, 3*11+5*9, 3*6+5*12, 3*1+ 5*15.

·       20 пудів.

·       треба перебрати усі 19 простих чисел. Твердження правильне.

Математичне звершення  № 2

1.    Якщо Оля йде до школи пішки, а повертається автобусом, то затрачає на дорогу 1,5 год. Якщо їде туди і назад, то затрачає 30 хвилин. Скільки часу затратить Оля, якщо йтиме до школи і назад пішки?

2.    Картопля подешевшала на 20%. На скільки відсотків більше можна купити картоплі на ту саму суму?

3.    Я йду до школи 30 хвилин, а мій брат — 40 хв. Через скільки хвилин я наздожену брата, якщо він вийшов на 5 хвилин раніше, ніж я?

4.    Проїхавши половину шляху, пасажир заснув і спав до тих пір, поки не залиши­лося проїхати половину шляху від того, що він проїхав сплячим. Яку частину шляху він проїхав сплячим?

5.    Чи можна 173 числа, кожне з яких 1 або -1, розбити на дві групи так, щоб сума чисел в групах була однакова?

6.    Учень прочитав книгу за три дні. За 1-ий день він прочитав 0,2 всієї книги і ще 16 сторінок, за 2-ий день - 0,3 остачі і ще 20 сторінок, а за 3-ій - 0,75 нової остачі і ще 30 сторінок. Скільки сторінок у книжці?

7.    Зафарбований куб з ребром 10 см розрізали на кубики з ребром 1 см. Скільки є кубиків з однією, двома, трьома зафарбованими гранями?

8.    Чи можна розрізати шахову дошку на прямокутники 1х3?

Математичне звершення № 3

1.    За книгу заплатили 50 коп, і залишилось заплатити стільки, скільки залишилось би заплатити, якби за неї заплатили стільки, скільки залишилось заплатити. Скільки коштує книга?

2.    Якщо між цифрами деякого двоцифрового числа вписати 0, то отримаємо трицифрове число, яке в 9 разів більше від початкового. Знайти початкове двоцифрове число.

3.    Один множник збільшили на 10%, а другий зменшили на 10%. На скільки відсотків змінився при цьому добуток?

4.    Кількість відсутніх учнів становить 1/6 присутніх. Після того, як із класу вийшов один учень, кількість відсутніх стала дорівнювати 1 /5 кількості присутніх. Скільки учнів у цьому класі?

5.    Вчора кількість учнів, які прийшли до школи, була у 8 разів більша від тих, що були відсутні. Сьогодні не прийшло ще 2 учні, і тоді виявилося, що відсутні 20% від кількості присутніх. Скільки учнів у класі?

6.    В одній посудині знаходиться 2а літрів води, а інша порожня. За перший раз із першої посудини в другу переливають половину води. За другий раз переливають 1/3 води з другої посудини в першу, а потім 1/4 води з першої посудини в другу і т.д. Скільки води буде в першій посудині після 1997 переливань?

7.    До трицифрового числа зліва приписали цифру 3, і воно збільшилося в т рази. Яке це число?

8.    Бригада косарів 1-го дня скосила половину луки і ще 2 гектари, а 2-го дня — чверть того, що залишилося і останні 6 гектарів. Знайти площу луки.

Математична  звершення  № 4

1. Знайдіть непарне чотиризначне число, дві середні цифри котрого утворюють число, що в 5 разів більше числа тисяч і в 3 рази більше числа одиниць.    

2. Знайдіть всі трицифрові числа,  які при закреслюванні середньої цифри зменшуються в 7 разів.

3. Знайдіть всі трицифрові числа,  які при закреслюванні середньої цифри зменшуються в  в 9 разів.

4. Ціну на товар спочатку зменшили на 0,13, а потім ще на 0,14. Чи стала б вона меншою, якби її одразу зменшили на 0,27?

5. При діленні деякого числа на 13 і на 15 отримали однакові частки, але в першому випадку отримали остачу 8, а в другому - остачі не було. Знайдіть це число.

6. Чи вірно, що  сума дванадцяти послідовних натуральних чисел не ділиться

на 12?

7. В кімнаті стоять табуретки та стільці. У кожної табуретки 3 ніжки, у кожного стільця - 4 ніжки. Коли на всіх табуретках та стільцях сидять люди, в кімнаті всього 39 ніг. Скільки табуреток і скільки стільців в кімнаті ?

8. Знайдіть два таких числа, що їх сума в 3 рази більша за їх різницю і в 2 рази менша за їх добуток.

9. Знайти частку двох чисел, якщо вона в 2 рази менша за одне з них і в 6 разів більша за друге.

10. В бочці не менше 10 л бензину. Як відлити з неї 6 л за допомогою дев'ятилітроврго відра та п'ятилітрового бідона?

Математичне  звершення  № 5

1. На базар принесли корзину яблук для продажу. Першому покупцеві продали половину всіх яблук і ще пів-яблука, другому - половину залишку і ще пів-яблука, і т. д. Останньому, шостому покупцеві, було продано також половину залишку і ще пів-ябпука, причому виявилось, що були продані всі яблука. Скільки яблук принесли на продаж?

2. Чотири товариші купили м'яч. Перший заплатив половину суми,  що заплатили інші, другий - третину суми, що заплатили інші, третій - чверть суми, що заплатили інші, а четвертий заплатив 130 грн. Скільки коштує м'яч?

3.  Із восьмилітрового відра, наповненого молоком, потрібно відлити 4 л за допомогою порожніх трилітрового та п'ятилітрового біідонів.

4. В магазин привезли 25 ящиків з яблуками трьох сортів, причому в кожному ящику містились яблука одного сорту. Чи можна знайти 9 ящиків з яблуками одного сорту?

5. Скільки існує чотиризначних чисел, які діляться на 45, а дві середні цифри у них 97?

6. До числа 15 припишіть зліва та справа по одній цифрі так, щоб отримане число ділилось на 15.

7. Знайти найменше натуральне число, що ділиться на 36, в запису якого зустрічаються   всі 10 цифр.

8. Скількома нулями закінчується добуток   1∙2∙3∙4∙ ...∙98∙99∙100.

9. Якби    учень купив 8 зошитів, то у нього залишилось би 30 коп., а на 12 - зошитів   у нього не вистачить 1,5 грн. Скільки грошей було у учня?

10. На складі є цвяхи в-ящиках по 16 кг, 17 кг, 40 кг. Чи може працівник складу відпустити 100 кг цвяхів, не відкриваючи ящики?

Математичне  звершення  № 6

1. В кімнаті знаходиться 14 канцелярських столів з однією, двома та трьома шухлядами. Всього в столах 25 шухляд. Столів з однією шухлядою стільки ж, скільки з двома та трьома разом. Скільки столів з трьома шухлядами разом?

2. Приїхало 100 туристів. Із них 10 чоловік не знали ні німецької мови, ні французької, 75 чоловік знали німецьку мову, а 83 - французську. Скільки туристів знали французську   і німецьку мову?

3. Три посудини наповнені водою (не доверху). В одній посудині 11 л води, в другій 7 л, в третій 6 л. В кожну посудину можна долити стільки води, скільки там уже є. Як розділити воду так, щоб у всіх трьох посудинах її стало порівну?

4. В підвалі знаходяться 7 порожніх бочок, 7 бочок, наповнених наполовину і 7 повних бочок. Як розподілити ці бочки між трьома вантажними

автомобілями так, щоб на кожному було 7 бочок і на всіх машинах був однаковий вантаж ?

5. Розв'яжіть арифметичний ребус. Однаковим буквам відповідають однакові цифри,   різним - різні. У -Р = А:В = Н∙Е = Н + И = Е

6. 4 коти - Вася, Пушок, Базіліо та Леопольд - полювали на мишей. Пушок з Леопольдом піймали стільки ж мишей, скільки Базіліо разом з Васею. Вася піймав мишей більше, ніж Базіліо, але Вася з Леопольдом піймали мишей менше, ніж Пушок з Базіліо. Скільки мишей піймав кожний кіт, якщо Пушок піймав 3 миші?

7. Із однієї форми отримують 6 деталей. Відходи із 6 форм дають можливість виготовити з них ще одну форму. Скільки деталей можна виготовити з 36 форм, якщо використовувати відходи також?

8. Коля заплатив 12 коп. за зошит, два олівці і гумку, а Сашко - 27 коп. за 2 зошити,   3 олівці та 3 гумки. Скільки заплатив Сергій за 2 зошити, 5 олівців та гумку ?

8. Із восьми зовні однакових монет 7 - золотих, а одна - не золота, дещо легша за інші. Потрібно за допомогою двох зважувань терезах без гирь знайти  незолоту монету.

9. Знайти двоцифрове число, котре зменшиться в 14 разів, якщо закреслити цифру одиниць в запису цього числа.

Математичне  звершення  № 7

0. Два двоцифрових числа закінчуються цифрою 6. При яких умовах їх добуток закінчується числом 36?

1. Якщо до двоцифрового числа  приписати справа цифру 0, то це число збільшиться на 252. Знайдіть це число.

2. Якщо в деякому трицифровому числі, що закінчується нулем, відкинути цей 0, то це число зменшиться на 351. Знайдіть це число.

3. Сума двох чисел дорівнює 180. Частка відділення більшого на менше дорівнює 5. Знайдіть ці числа.

4. Поставте у виразі      7∙9 + 12:3 – 2 дужки так, щоб значення отриманого виразу   дорівнювало:

а) 23 ; б) 75.

5. У виразі 1*2*3*4*5 - замініть зірочки знаками арифметичних  дій та поставте дужки так, щоб значення виразу    дорівнювало 100.

6. В 1983 році було 53 суботи. Яким днем тижня було 1 січня ?

7. Знайдіть найменше число, яке при діленні на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 дає в остачі 1.

8. На одну шальку терезів покладено шматок мила,    на другу   3/4 шматка такого ж мила та ще 50 г. Терези знаходяться в рівнеьззі. Яка вага шматка мила?

9. Знайти два числа, якщо потроєна сума цих чисел на 8 більша їх  подвоенної  різниці, а подвоєна сума цих чисел на 6 більша  їх різниці.

10. Сума цифр двозначного числа дорівнює 12, а різниця числа одиниць і числа десятків в цьому числі в 12 разів менше самого числа. Знайдіть це число.

Математичне звершення № 8

1.    У хлопчика стільки сестер, скільки і братів, а у його сестри вдвічі менше сестер, ніж братів. Скільки в цій сім’ї братів і скільки сестер?

2.    В двох руках всього 30 зошитів. Якби з першої руки перекласти у другу 2 зошити, тоді у першій руці стало б вдвічі більше, ніж у другій. Скільки зошитів було в кожній  руці?

3.    У Мирослави були гроші і їй не вистачало 7 грн, а Каріні не вистачало 2 грн, щоб купити по коробці кольорових олівців. Коли вони склали свої гроші, їм не вистачало грошей, щоб купити навіть одну коробку.  Скільки коштує коробка олівців?

4.    У коробці лежать олівці: 7 червоних і 5 синіх. Сліпий кіт Базиліо  бере з неї олівці і малює однокольорові монетки. Скільки треба взяти коту олівців, щоб серед намальованих монеток було не менше двох червоних і не менше трьох синіх?

5.    Як від шматка матерії в 2/3 метра відрізати півметра, не маю під рукою метра?

6.    Дід привіз на базар огірки. Коли він почав рахувати їх десятками, то не вистачало двох огірків до повного  числа десятків. Коли він став рахувати по 12(дюжинами), то залишилось 8 огірків. Скільки огірків привіз дід на базар, якщо їх було більше 300, але менше 400?

7.    Скільки разів протягом доби годинникова та хвилинна стрілка співпадають?

8.    Знайти два числа, щоб їх сума була втричі більше їх різниці і вдвічі менше їх добутку.

9.    Батько доросліше сина в 4 рази. Через 20 років він буде доросліше сина в 2 рази. Скільки зараз  років батьку?

10.                      Розставте у записі  4∙12+18:6+3 дужки так, щоб результат був найбільшим.

             Відповіді:

1.    Три сестри, чотири брати. 

2.    . 8 зошитів в другій руці, 22 зошита — в першій.

3.    8 гривень.

4.    10 олівців.

5.    Скласти кусок навпіл, потім ще раз навпіл, отримаємо 1/6 метра. Відняти цю довжину від 2/3 метра, отримаємо половину.

6.    Якщо відкласти в сторону 8 огірків, тоді кількість огірків ділиться на 10 і 12, тобто на 60. Отже 360+8=368 огірків привіз дід.

7.    23 рази.

8.    3 та 6.

9.    Сину 10, батьку 40.

10.                      4∙(12+18:6+3)=72.

Математичне звершення № 9

1. Рівносторонній трикутник має три рівні сторони. Кожна сторона поділена на три рівні частини двома точками. Три вершини і шість точок на сторонах трикутника дають дев’ять  даних точок. Дано дев’ять чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.  Розташуйте їх в даних точках  так, щоб суми чотирьох чисел на  кожній стороні трикутника  були рівними:  а) парному числу;  б)  непарному числу.

2. Поставте між числами  довільні арифметичні дії(без повторень), так що виконувалась рівність:  6     3    3  =  6    3    3 . Знайдіть два способи такої розстановки знаків.

3. Дід  сам випиває діжечку квасу за 14 днів, а разом з бабою випиває таку ж діжечку квасу за 10 днів. За скільки днів одна баба вип’є таку ж діжечку квасу?

4. Якими способами можна видати зі складу 185 кг фарби, за допомогою лише відер вагою 16 кг, 17 кг, 21 кг? Запиши усі можливі розв’язки.

5.  У два бідона вміститься десять з половиною літрів води. Якщо б об’єм першого бідона був у два рази більше, а об’єм другого бідона на 8 л більше, ніж в дійсності, то загальний об’єм подвоївся б. Який об’єм кожного бідона?

6. Дано 7 монет. Дві з них фальшиві(легші, ніж справжні). За два зважування на терезах без гир вказати три справжні монети.

7. Чи можна видати за допомогою  тринадцяти грошей вартістю 25, 5 та 1 гривень суму 198 гривень?

8. Є круглий торт. На цьому торту зробили по колу шість крапок з крему на однаковй відстані по краях. Тільки через ці крапки провели усі можливі прямі лінії. На скільки шматочків розділилася поверхня торта?

9. На конгресі зустрілися біолог, історик, математик і хімік. Кожний із них володів двома іноземними мовами з числа таких: англійська, італійська, німецька, російська. При цьому не було такої мови, якою б володіли всі, але була одна, якою володіли троє. Ніхто не знав німецьку і російську мови одночасно. Хоча хімік і не розмовляє англійською, він може бути перекладачем, якщо захочуть поговорити біолог та історик. Історик знає російську мову і може поговорити з математиком, хоч той і не знає російської мови. Хімік, біолог і математик можуть розмовляти втрьох однією мовою. Якими мовами володіє кожний із вчених?

Математичне звершення № 10

1. Велосипедист проїжджає 1 км за вітром за 3 хв, а проти вітру — за 5 хв. За скільки хвилин він проїде 1 км, коли не буде вітру?

2. Скільки разів і коли саме за  такий проміжок часу від 0 до 12 год хвилинна стрілка співпаде із годинною?

3.   У рівності   * = *;   *+* = *;    * + * + * = *    двоє  учнів вписують  почергово замість зірочок цілі числа. Довести, що той, хто починає, завжди може досягти того, щоб усі рівності справджувалися.

 4. У класі 25 учнів. Відомо, що серед довільних трьох учнів є двоє друзів. Доведіть, що є учень, у якого не менше ніж 12 друзів.

5. Якби Колі купив три зошити, то в нього залишилося б 11 коп., а ко­ли б він захотів купити 9 таких зошитів, то йому не вистачило  7 коп.  Скільки грошей у Колі?

6. Олег, Борис і Віктор вирішили за прикладом Куклачова приступити до дресирування своїх кошенят. Борине кошеня стрибало через палицю краще, ніж кошеня сіамської породи. Персидське кошеня стрибало краще ніж Мурзик. Вітине кошеня стрибало краще, ніж Пушок, а Тигрик стрибав не гірше, ніж персидське кошеня. Але сибірському кошеняті надоїло дреси­рування, і воно подряпало свого господаря. Кого подряпало сибірське ко­шеня?

7. Для   нумерації   сторінок   підручника   використали   312 цифр. Скільки сторінок в цій книжці? Скільки цифр потрібно для нумерації сторінок книжки, яка має 160 сторінок?

8. Пофарбований куб із стороною 12 см розрізали на кубики із стороною 2 см. Скільки кубиків мають пофарбовані 3 грані, скільки – 2 і у скількох лише одна грань пофарбована? Скільки кубиків зовсім непофарбованих?

Математичне звершення № 11

1.    На столі стоять три однакові коробки. В одній із них лежать
дві чорні кульки, в другій — дві білі, у третій — чорна і біла. На
коробках зроблені написи: «дві білі», «дві чорні», «чорна і біла»,
причому жоден з написів не відповідає дійсності. Як, вийнявши
лише одну кульку, визначити, де які кульки лежать?

2.    Знайти мінімальне натуральне число, про яке відомо:

1) якщо його помножити на 17, то результат поділиться на 24;

2)    якщо його поділити на 11, то результат поділиться на 5;

3)    якщо його поділити на 2, то буде квадрат деякого натурально­
го числа.

3.    Довести, що якщо сума квадратів двох цілих чисел ділиться на
11, то і кожне з них ділиться на 11.

4.    Групу школярів треба розсадити в їдальні. За стіл можна поса­дити трьох учнів. Якщо посадити за стіл по 2 дівчинки, то виявить­ся 3 столи, де сидять лише хлопчики, а якщо посадити за стіл по 2 хлопчики, то буде 2 столи лише з дівчатками. Скільки було дівча­ток у групі?

5.      В урні лежали чорні й білі кульки, загальне число яких не пе­ревищує 55. Число білих кульок відносилося до числа чорних як 3:2.  Після того як з урни вийняли 4 кульки, виявилося, що спів­відно­шення білих і чорних кульок 4:3. Скільки кульок лежало в урні?