Арифметичні прогресії та магічні квадрати

Складання магічного квадрату з ланцюгів арифметичних  прогресій

Відома вже давно чудова зграйка з дев'яти простих чисел:

199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 1879.

Вона є арифметичною прогресією. Крім того,  дана зграйка з дев'яти простих чисел приваблива здатністю розміститися в дев'яти клітках квадрата 3x3 так, що утворюється магічний квадрат з константою, рівній різниці двох простих чисел: 3119-2.  Набір з дев'яти простих чисел: 199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 1879 – приваблива не тільки тим, що вона є арифметичною прогресією з різницею 210, але і цікавою здатністю. Наступний, десятий член даної прогресії 2089 – також просте число. Якщо видалити із зграйки число 199, але включити 2089, то і в цьому складі зграйка може утворити магічний квадрат – тема для пошуку.

1669	199	1249
619	1039	1459
829	1879	409

Зауваження про арифметичну прогресію саме по собі дуже цікаво. Справа в тому, що з кожних дев'яти послідовних членів будь-якої арифметичної прогресії натуральних чисел можна скласти магічний квадрат.

Насправді, нехай дана арифметична прогресія:

а,  а+d,  а +2d,  а +3d,  а + 4d, а +5d,  а +6d,  а +7d,   а+8d,

де а і d  натуральні. Розташуємо ці числа так, як показано в квадратній таблиці 3х3.

а + 3d	а + 8d	а + d
а + 2d	а + 4d	а + 6d
а + 7d	а	а + 5d

Неважко бачити, що вийшов магічний квадрат, константа С якого рівна 3а+12d. Дійсно, сума чисел в кожному рядку, в кожному стовпці і по кожній діагоналі квадрата рівна 3а+12d.

Якщо з кожним  числом попередньої таблиці послідовно виконати такі дії:

1) додати d;  2) відняти а;   3) поділити на d,

то після цих перетворення отримаємо магічний квадрат з чисел від 1 до 9:

4d	9d	2d
3d	5d	7d
8d	d	6d

а + 4d	а + 9d	а +  2d
а + 3d	а + 5d	а + 7d
а + 8d	а + d	а + 6d

4	9	2
3	5	7
8	1	6

Зрозуміло, що виконавши над останнім  магічним квадратом  ті ж самі перетворення для кожного числа, але у зворотному порядку, отримаємо початковий магічний квадрат.

Складання магічного квадрату з ланцюгів простих чисел

Питання про магічні квадрати з простими числами розглядається у відомій книзі М. Гарднера "Математичне дозвілля" (М.: Мир, 1972). Там на ст. 420 наведений, зокрема, магічний квадрат:

67	1	43
13	37	61
31	73	7

 При цьому стверджується, що задіяні одні тільки прості числа. Насправді в квадраті тільки вісім простих чисел, оскільки число 1 не є простим.

Пропоную  магічний квадрат, складений з дев'яти простих чисел, його константа  С = 267.

71	167	29
47	89	131
149	11	107

Взагалі, скласти магічний квадрат з одних простих чисел - завдання не з легких. Тим більше захоплення викликають магічні квадрати з простих чисел з однією і тією ж останньою цифрою.

Магічний квадрат складений з простих чисел з останньою цифрою "1".

571	1051	181
211	601	991
1021	151	631

Магічний квадрат складений з простих чисел з останньою цифрою "3".

823	1093	643
673	853	1033
1063	613	883

Магічний квадрат складений з простих чисел з останньою цифрою "7".

307	607	97
127	337	547
577	67	367

Магічний квадрат складений з простих чисел з останньою цифрою "9".

1669	199	1249
619	1039	1459
829	1879	409

А що ж арифметична прогресія в цих магічних квадратах? На жаль, в останніх чотирьох магічних квадратах нею довелося пожертвувати?

Якщо числа кожного квадрата переписати у вигляді зростаючої послідовності і розглянути різниці між кожним подальшим і попереднім, то ми побачимо, що рівність різниць регулярно (!) порушується в кожній третій і шостій парі.

У загальному випадку: нехай

а₁, а₂,  а₃, а₄, а₅, а₆,  а₇, а₈,  а₉ –

зростаюча послідовність простих чисел, які можна розставити у вигляді магічного  квадрата.  Чи вірно,  що  для такої  послідовності виконується:

а₂ – а₁ = а₃ – а₂ = а₅– а₄ = а₆ – а₅  = а₈  – а₇ = а₉ – а₈,

 а₄ – а₃ =  а₇ – а₆ = k(а₂ – а₁),

де   k -  число натуральне, не рівне 1?

Іншими словами, чи вірно, що в описаній вище послідовності чисел в двох випадках порушується закономірність арифметичної прогресії: на третьому кроці (а₄ – а₃) і на шостому кроці а₇ – а₆?

Наприклад, перепишемо  числа  магічного  квадрата

67	1	43
13	37	61
31	73	7

в зростаючому порядку: 1, 7, 13, 31, 37, 43, 61, 67,73.  Легко бачити, що

7-1 =13 - 7 =37 - 31 = =43 - 37=67- 61=73 - 67=6,

але     

31 – 13 = 61 - 43 = 18=3×6.

Надаємо читачам  можливість самим перевірити те, що помічена закономірність виконується для всіх наведених нами магічних квадратів. Чи випадковість це?

Слід зазначити, що існують і інші магічні квадрати, що складаються з простих чисел:

1847	6257	6197	3677	1307	1877	2687
2267	1427	5987	5927	1667	2027	4547
2897	947	2357	4517	3347	5867	3917
3557	4157	4397	3407	2417	2657	3257
4337	5717	3467	2297	4457	1097	2477
4817	4767	827	887	5147	5387	1997
4127	557	617	3137	5507	4937	4967

Запропонований числовий квадрат цікавий оскільки

1.     Він є магічним квадратом 7х7;

2.     Він містить в собі магічний квадрат 5х5;

3.     Магічний квадрат 5х5 містить в собі магічний квадрат 3х3;

4.     Всі ці квадрати мають одне загальне центральне число – 3407;

5.     Всі 49 чисел, що входять в квадрат 7х7, закінчуються цифрою 7;

6.     Всі 49 чисел, що входять в квадрат 7х7, - прості числа;

7.      Кожне з 49 чисел квадрату 7х7 подається як 30n + 17.