Трикутник Паскаля, що продовжений в усі сторони

Способи утворення числового трикутника Паскаля
   

11⁰= 1

11¹= 11

11²= 121

11³= 1331

11⁴= 14641

11⁵= 161051

11⁶= 1771561

Трикутник Паскаля — це геометрично, на зразок трикутника, розміщені біноміальні коефіцієнти. Це математичне поняття названо на честь Блеза Паскаля. Таку назву вживають переважно в західному світі, адже математики Індії, Персії, Китаю та Італії знали цей трикутник ще за кілька століть перед Паскалем.

Ряди трикутника Паскаля умовно пронумеровані згори, починаючи з нульового, й числа в нижньому ряді відносно чисел у попередньому ряді завжди розміщені ступінчасто й навскіс. Побудувати цей трикутник просто. Кожне число в кожному ряді одержуємо, додавши два числа, розміщені вгорі (зліва і справа). Якщо зліва або справа немає числа, підставляємо нуль на його місце. Наприклад, перше число в першому ряді 0 + 1 = 1, тоді як числа 1 і 3 в третьому ряді утворюють число 4 в четвертому ряді: 1 + 3 = 4.

Правило Паскаля стверджує: якщо

${\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}}$

k-й біноміальний коефіцієнт в біноміальному ряді для (x + y)ⁿ, тоді

${\displaystyle {n \choose k}={n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}}$

для будь-якого додатного цілого n і будь-якого цілого k між 0 і n.

Властивості трикутника Паскаля

Трикутник Паскаля має багато властивостей і містить багато числових шаблонів.

Кожне кадр представляє рядок трикутника Паскаля. Кожен стовпчик - це число у двійковому вигляді з найменш значимим бітом внизу. Світлі пікселі представляють одинички і темні - нулі.

Рядки

• Сума елементів кожного рядка є подвоєна сума попереднього. Це тому, що кожен елемент рядка творить два елементи наступного рядка. Сума елементів рядка n дорівнює 2ⁿ.
• Добуток елементів рядка, послідовність таких добутків Послідовність A001142 з Енциклопедії послідовностей цілих чисел стосується бази натурального логарифму, e.^[1][2] А саме, визначимо послідовність s_n так:

${\displaystyle s_{n}=\prod _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}=\prod _{k=0}^{n}{\frac {n!}{k!(n-k)!}}~,~n\geq 0.}$

Тоді співвідношення послідовних добутків рядків є

${\displaystyle {\frac {s_{n+1}}{s_{n}}}={\frac {(n+1)!^{(n+2)}\prod _{k=0}^{n+1}{k!^{-2}}}{n!^{(n+1)}\prod _{k=0}^{n}{k!^{-2}}}}={\frac {(n+1)^{n}}{n!}}}$

і співвідношення цих співвідношень є

${\displaystyle {\frac {(s_{n+1})(s_{n-1})}{(s_{n})^{2}}}=\left({\frac {n+1}{n}}\right)^{n},~n\geq 1.}$

Правий бік цього рівняння набуває форми визначення e через границю

${\displaystyle {\textit {e}}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.}$

• Значення рядка, якщо кожен елемент розглядати як десятковий розряд ( і числа більші ніж 9 переносити відповідно) є степенем 11 ( 11ⁿ, для рядка n). Отже, у рядку 2, ⟨1, 2, 1⟩ стає 11², тоді як ⟨1, 5, 10, 10, 5, 1⟩ у п'ятому рядку стає (після перенесень) 161,051, тобто 11⁵. Цю властивість пояснюють встановлюючи x = 10 у біноміальному розкладі (x + 1)ⁿ, і припасовуючи значення до десяткової системи. Але x можна обрати так, щоб рядки представляли значення в будь-якій основі.
  • У трійковій: 1 2 1₃ = 4² (16)
  • ⟨1, 3, 3, 1⟩ → 2 1 0 1₃ = 4³ (64)
  • За основою 9: 1 2 1₉ = 10² (100)
  •               1 3 3 1₉ = 10³ (1000)
  • ⟨1, 5, 10, 10, 5, 1⟩ → 1 6 2 1 5 1₉ = 10⁵ (100000)

  Зокрема, для x = 1 значення в позиціях залишаються сталими (1^{позиція}=1). Отже, їх можна просто додати.

• Сума квадратів елементів рядка n дорівнює середньому елементу рядка 2n. Наприклад, 1² + 4² + 6² + 4² + 1² = 70. У загальній формі:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}^{2}={2n \choose n}.}$

• Іншим цікавим шаблоном є те, що для будь-якого рядка n, де n є парним, середній елемент мінус елемент на дві позиції ліворуч дорівнює числу Каталана, а саме (n/2 + 1)му числу Каталана. Наприклад: на четвертому рядку, 6 − 1 = 5, що є третім числом Каталана і 4/2 + 1 = 3.
• Також цікавою властивістю є те, що в рядку p де p це просте число, всі елементи рядка діляться на p. Це можна легко довести, оскільки якщо ${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$, тоді p не має дільників окрім 1 і себе. Кожен елемент трикутника це ціле число, тоді за визначенням ${\displaystyle (p-k)!}$ і ${\displaystyle k!}$ це дільники ${\displaystyle p!\,}$. Однак, власне p не може з'явитись у дільнику, отже p (або його кратне) повинно залишитись у чисельнику.
• Парність: Щоб порахувати кількість непарних чисел у рядку n, переведіть n у двійкову систему. Нехай x буде кількістю одиничок у двійковому представленні. Тоді кількість непарних елементів буде 2^x.^[3]
• Кожен елемент у рядку 2ⁿ-1, n ≥ 0, є непарним.^[4]
• Полярність: Інший цікавий шаблон, кожен парний рядок трикутника Паскаля дорівнює нулю, якщо взяти середній елемент, потім відняти цілі наступні біля центрального, тоді додати наступні цілі і т.д. Приклад, рядок 4 такий, 1 4 6 4 1, отже формула буде така 6 - (4+4) + (1+1) = 0, рядок 6 такий 1 6 15 20 15 6 1, тому маємо 20 - (15+15) + (6+6) - (1+1) = 0.

Діагоналі

Діагоналі трикутника Паскаля містять фігурні числа сімплексів:

• Діагоналі уздовж лівого і правого ребер містять лише 1-ці.
• Наступні діагоналі містять натуральні числа по порядку.
• Рухаючись далі, наступна пара діагоналей містить трикутні числа по порядку.
• Наступна пара діагоналей містить тетраедричні числа по порядку і наступна дає числа п'ятиклітинника.

Загальні шаблони і властивості

Трикутник Серпінського

• Шаблон отриманий фарбуванням лише непарних чисел у трикутнику Паскаля дуже нагадує фрактал відомий як трикутник Серпінського. Ця схожість стає все більш точною з додаванням нових рядків; при переході до границі, коли кількість рядків наближається до нескінченності, результовний шаблон є трикутником Серпінського.^[5] Загальніше, числа можна розфарбовувати різноманітно, відповідно до того чи діляться вони на 3, 4 і т.д.; це дає подібні шаблони.

Трикутник Паскаля викладений на шахівниці дає кількість відмінних шляхів до кожної комірки, якщо дозволені лише кроки праворуч і додолу.

• Якщо рядки трикутника Паскаля вирівняти по лівому боку, тоді діагональні смуги (виділені кольором) сумуються у числа Фібоначчі.

1
1	1
1	2	1
1	3	3	1
1	4	6	4	1
1	5	10	10	5	1
1	6	15	20	15	6	1
1	7	21	35	35	21	7	1

Примітки

1. Вгору↑

Використання трикутника Паскаля для узагальнення від'ємних вимірів гіперпростору на основі систематизації багатовимірних  об'єктів в гіпертетраедрах.

Продовження трикутника Паскаля в усі сторони

Трикутник Паскаля є число трикутника з номерами , розташованими в шаховому порядку таких , що

(1)

де є біноміальний коефіцієнт . Трикутник був вивчений Б. Паскаля, хоча це було описано раніше століть китайський математик Yanghui (близько 500 років тому, на самом деле) і перський астроном-поет Омар Хайям. Тому відомо як трикутник Yanghui в Китаї. Починаючи з , то трикутник є

(2)

(OEIS A007318 ). Формула Паскаля показує , що кожна наступна рядок виходить шляхом додавання двох записів по діагоналі вище,

(3)

Сюжет вище показує виконавчі уявлення для першого 255 (верхній малюнок) і 511 (нижній малюнок) умови зведене трикутника Паскаля.

Перше число після 1 в кожному рядку ділить всі інші числа в цьому рядку тоді і тільки тоді це просте .

Суми з числа непарних записів в перших рядах трикутника Паскаля для , 1, ... 0, 1, 3, 5, 9, 11, 15, 19, 27, 29, 33, 37, 45, 49 , ... (OEIS A006046 ). Саме тоді , що

(4)

(Harborth 1976, Le Lionnais 1983), з рівністю для ступеня 2, а потужність задається константа

(5)

(OEIS A020857 ). Послідовність кумулятивних підрахунку непарних записів має деякі дивовижні властивості, а мінімальне можливе значення(OEIS A077464 ) відомий як константа Stolarsky-Harborth .

Трикутник Паскаля містить число фігурної уздовж діагоналей, як можна бачити з тотожності

			(6)
			(7)

Крім того, сума елементів му рядку

(8)

тому сума перших рядків (тобто рядки 0 до ) є число Мерсенна

(9)

"У неглибокі діагональні " трикутника суми Паскаля до числам Фібоначчі , тобто

			(10)
			(11)
			(12)
			(13)
			(14)
			(15)

і, в загальному,

(16)

Кількість разів , що числа 2, 3, 4, ... відбуваються в трикутнику Паскаля визначаються 1, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 4 , ... (OEIS A003016 ; Ogilvy 1972, стор 96 ;. Комте 1974, стор 93 ;. Singmaster 1971). Аналогічним чином , число рядків , в яких число 2, 3, 4, ... відбуваються є : 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 2 ,. .. (OEIS A059233 ).

Підрядник 210, число

			(17)
			(18)
			(19)

з'явилися в шість разів більше, ніж будь-який інший номер (за винятком 1). За рядку ООН 1540,

(20)

тепер сталося в шість разів, по рядках 3003,

(21)

тепер сталося 8 разів, а по рядках 7140, 7140 з'явився в шість разів , а також. Насправді, числа , які відбуваються п'ять або більше разів на трикутнику Паскаля є 1, 120, 210, ООН 1540, 3003, 7140, 11628, 24310, ... (OEIS A003015 ), без яких - або інших до .

Відомо, що існує нескінченно багато чисел, які відбуваються, принаймні 6 разів в трикутнику Паскаля, а саме рішення

(22)

дається

			(23)
			(24)

де це - го числа Фібоначчі (Singmaster 1975). Перші кілька таких значень для , 2, ... 1, 3003, +61218182743304701891431482520, ... (OEIS A090162 ).

Існує несподіваний зв'язок між трикутником Паскаля і числами робити через розкладання Холецкого (Г. Хелмс, чол. Comm. 29 серпня 2005). Більш того, незважаючи на те, дві з яких математично пов'язані між собою, є також актуальна зв'язок між трикутником Паскаля і так званого шахрая трикутника ; Цей зв'язок також забезпечує тангенціальну ставлення до тістечко ріжучим проблеми і , отже , до номерами торт .

Трикутник Паскаля ( по модулю 2) виявляється еквівалентним Серпінського ситі (Wolfram 1984; Крандалл і Pomerance 2001; Borwein і Bailey 2003 С. 46-47.). Guy (1990) дає дещо інші несподівані властивості трикутника Паскаля.