вівторок, 21 лютого 2017 р.

Трикутник Паскаля, що продовжений в усі сторони

Способи утворення числового трикутника Паскаля
Результат пошуку зображень за запитом "формули розвитку популяцій в біології"   Результат пошуку зображень за запитом "формули розвитку популяцій в біології"

110= 1
111= 11
112= 121
113= 1331
114= 14641
115= 161051

116= 1771561




Пов’язане зображення

Трикутник Паскаля — це геометрично, на зразок трикутника, розміщені біноміальні коефіцієнти. Це математичне поняття названо на честь Блеза Паскаля. Таку назву вживають переважно в західному світі, адже математики ІндіїПерсіїКитаю та Італії знали цей трикутник ще за кілька століть перед Паскалем.
Ряди трикутника Паскаля умовно пронумеровані згори, починаючи з нульового, й числа в нижньому ряді відносно чисел у попередньому ряді завжди розміщені ступінчасто й навскіс. Побудувати цей трикутник просто. Кожне число в кожному ряді одержуємо, додавши два числа, розміщені вгорі (зліва і справа). Якщо зліва або справа немає числа, підставляємо нуль на його місце. Наприклад, перше число в першому ряді 0 + 1 = 1, тоді як числа 1 і 3 в третьому ряді утворюють число 4 в четвертому ряді: 1 + 3 = 4.
Правило Паскаля стверджує: якщо
k-й біноміальний коефіцієнт в біноміальному ряді для (x + y)n, тоді
для будь-якого додатного цілого n і будь-якого цілого k між 0 і n.

Властивості трикутника Паскаля

Трикутник Паскаля має багато властивостей і містить багато числових шаблонів.

Кожне кадр представляє рядок трикутника Паскаля. Кожен стовпчик - це число у двійковому вигляді з найменш значимим бітом внизу. Світлі пікселі представляють одинички і темні - нулі.

Рядки

  • Сума елементів кожного рядка є подвоєна сума попереднього. Це тому, що кожен елемент рядка творить два елементи наступного рядка. Сума елементів рядка n дорівнює 2n.
  • Добуток елементів рядка, послідовність таких добутків Послідовність A001142 з Енциклопедії послідовностей цілих чисел стосується бази натурального логарифму, e.[1][2] А саме, визначимо послідовність sn так:
Тоді співвідношення послідовних добутків рядків є
і співвідношення цих співвідношень є
Правий бік цього рівняння набуває форми визначення e через границю
  • Значення рядка, якщо кожен елемент розглядати як десятковий розряд ( і числа більші ніж 9 переносити відповідно) є степенем 11 ( 11n, для рядка n). Отже, у рядку 2, ⟨1, 2, 1⟩ стає 112, тоді як ⟨1, 5, 10, 10, 5, 1⟩ у п'ятому рядку стає (після перенесень) 161,051, тобто 115. Цю властивість пояснюють встановлюючи x = 10 у біноміальному розкладі (x + 1)n, і припасовуючи значення до десяткової системи. Але x можна обрати так, щоб рядки представляли значення в будь-якій основі.
    • У трійковій1 2 13 = 42 (16)
    • ⟨1, 3, 3, 1⟩ → 2 1 0 13 = 43 (64)
    • За основою 9: 1 2 19 = 102 (100)
    •               1 3 3 19 = 103 (1000)
    • ⟨1, 5, 10, 10, 5, 1⟩ → 1 6 2 1 5 19 = 105 (100000)
    Зокрема, для x = 1 значення в позиціях залишаються сталими (1позиція=1). Отже, їх можна просто додати.
  • Сума квадратів елементів рядка n дорівнює середньому елементу рядка 2n. Наприклад, 12 + 42 + 62 + 42 + 12 = 70. У загальній формі:
  • Іншим цікавим шаблоном є те, що для будь-якого рядка n, де n є парним, середній елемент мінус елемент на дві позиції ліворуч дорівнює числу Каталана, а саме (n/2 + 1)му числу Каталана. Наприклад: на четвертому рядку, 6 − 1 = 5, що є третім числом Каталана і 4/2 + 1 = 3.
  • Також цікавою властивістю є те, що в рядку p де p це просте число, всі елементи рядка діляться на p. Це можна легко довести, оскільки якщо , тоді p не має дільників окрім 1 і себе. Кожен елемент трикутника це ціле число, тоді за визначенням  і  це дільники . Однак, власне p не може з'явитись у дільнику, отже p (або його кратне) повинно залишитись у чисельнику.
  • Парність: Щоб порахувати кількість непарних чисел у рядку n, переведіть n у двійкову систему. Нехай x буде кількістю одиничок у двійковому представленні. Тоді кількість непарних елементів буде 2x.[3]
  • Кожен елемент у рядку 2n-1, n ≥ 0, є непарним.[4]
  • Полярність: Інший цікавий шаблон, кожен парний рядок трикутника Паскаля дорівнює нулю, якщо взяти середній елемент, потім відняти цілі наступні біля центрального, тоді додати наступні цілі і т.д. Приклад, рядок 4 такий, 1 4 6 4 1, отже формула буде така 6 - (4+4) + (1+1) = 0, рядок 6 такий 1 6 15 20 15 6 1, тому маємо 20 - (15+15) + (6+6) - (1+1) = 0.

Діагоналі

Діагоналі трикутника Паскаля містять фігурні числа сімплексів:
  • Діагоналі уздовж лівого і правого ребер містять лише 1-ці.
  • Наступні діагоналі містять натуральні числа по порядку.
  • Рухаючись далі, наступна пара діагоналей містить трикутні числа по порядку.
  • Наступна пара діагоналей містить тетраедричні числа по порядку і наступна дає числа п'ятиклітинника.

Загальні шаблони і властивості


Трикутник Серпінського
  • Шаблон отриманий фарбуванням лише непарних чисел у трикутнику Паскаля дуже нагадує фрактал відомий як трикутник Серпінського. Ця схожість стає все більш точною з додаванням нових рядків; при переході до границі, коли кількість рядків наближається до нескінченності, результовний шаблон є трикутником Серпінського.[5] Загальніше, числа можна розфарбовувати різноманітно, відповідно до того чи діляться вони на 3, 4 і т.д.; це дає подібні шаблони.

Трикутник Паскаля викладений на шахівниці дає кількість відмінних шляхів до кожної комірки, якщо дозволені лише кроки праворуч і додолу.
  • Якщо рядки трикутника Паскаля вирівняти по лівому боку, тоді діагональні смуги (виділені кольором) сумуються у числа Фібоначчі.
1
11
121
1331
14641
15101051
1615201561
172135352171

Примітки


Використання трикутника Паскаля для узагальнення від'ємних вимірів гіперпростору на основі систематизації багатовимірних  об'єктів в гіпертетраедрах.



Продовження трикутника Паскаля в усі сторони




Результат пошуку зображень за запитом "трикутник паскаля біном ньютона"



Результат пошуку зображень за запитом "трикутник паскаля біном ньютона"


Трикутник Паскаля є число трикутника з номерами , розташованими в шаховому порядку таких , що
 А_ (пг) = (! п) / (г (пг)!) = (п, г),
(1)
де (П; г)є біноміальний коефіцієнт . Трикутник був вивчений Б. Паскаля, хоча це було описано раніше століть китайський математик Yanghui (близько 500 років тому, на самом деле) і перський астроном-поет Омар Хайям. Тому відомо як трикутник Yanghui в Китаї. Починаючи з п = 0, то трикутник є
 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
(2)
(OEIS A007318 ). Формула Паскаля показує , що кожна наступна рядок виходить шляхом додавання двох записів по діагоналі вище,
 (П, г) (!! (Н.Р.) г) = (! П) / = (п-1; г) + (п-1; г-1).
(3)
Binary ділянку для трикутника Паскаля
Сюжет вище показує виконавчі уявлення для першого 255 (верхній малюнок) і 511 (нижній малюнок) умови зведене трикутника Паскаля.
Перше число після 1 в кожному рядку ділить всі інші числа в цьому рядку тоді і тільки тоді це просте .
Суми P_nз числа непарних записів в перших Nрядах трикутника Паскаля для п = 0, 1, ... 0, 1, 3, 5, 9, 11, 15, 19, 27, 29, 33, 37, 45, 49 , ... (OEIS A006046 ). Саме тоді , що
 0,812 ... <P_nn ^ (- тета) <= 1
(4)
(Harborth 1976, Le Lionnais 1983), з рівністю для Nступеня 2, а потужність Nзадається константа
 тета = (ln3) / (ln2) = log_23 = +1,58496250072115 ...
(5)
(OEIS A020857 ). Послідовність кумулятивних підрахунку непарних записів має деякі дивовижні властивості, а мінімальне можливе значеннябета = 0,812 ...(OEIS A077464 ) відомий як константа Stolarsky-Harborth .
Трикутник Паскаля містить число фігурної уздовж діагоналей, як можна бачити з тотожності
sum_ (я = 1) ^ (п) (я, J)=(П + 1) / (J + 1) (п; к)
(6)
=(П + 1; J + 1).
(7)
Крім того, сума елементів Яму рядку
 sum_ (J = 0) ^ I (I, J) = 2 ^ я,
(8)
тому сума перших Дорядків (тобто рядки 0 до K-1) є число Мерсенна
 sum_ (I = 0) ^ (к-1) 2 ^ = 2 ^ к-1.
(9)
FibonacciShallowDiags
"У неглибокі діагональні " трикутника суми Паскаля до числам Фібоначчі , тобто
1=1
(10)
1=1
(11)
2=1 + 1
(12)
3=2 + 1
(13)
5=1 + 3 + 1
(14)
8=3 + 4 + 1
(15)
і, в загальному,
 sum_ (к = 0) ^ (| _n / 2_ |) (п; к) = F- (п + 1).
(16)
Кількість разів , що числа 2, 3, 4, ... відбуваються в трикутнику Паскаля визначаються 1, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 4 , ... (OEIS A003016 ; Ogilvy 1972, стор 96 ;. Комте 1974, стор 93 ;. Singmaster 1971). Аналогічним чином , число рядків , в яких число 2, 3, 4, ... відбуваються є : 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 2 ,. .. (OEIS A059233 ).
Підрядник 210, число
120=(10; 3) = (10; 7) = (16; 2) = (16; 14) = (120; 1) = (120; 119)
(17)
210=(10, 4) = (10; 6) = (21; 2) = (21; 19) = (210; 1) = (210; 209)
(18)
3003=(14; 6) = (14; 8) = (15; 5) = (15; 10) = (78; 2) = (78; 76)
(19)
з'явилися в шість разів більше, ніж будь-який інший номер (за винятком 1). За рядку ООН 1540,
 1540 = (22, 3) = (22; 19) = (56; 2) = (56; 54) = (1540; 1) = (1540; 1 539)
(20)
тепер сталося в шість разів, по рядках 3003,
 3003 = (14; 6) = (14; 8) = (15; 5) = (15; 10) = (78; 2) = (78; 76) = (3003; 1) = (3003; 3002)
(21)
тепер сталося 8 разів, а по рядках 7140, 7140 з'явився в шість разів , а також. Насправді, числа , які відбуваються п'ять або більше разів на трикутнику Паскаля є 1, 120, 210, ООН 1540, 3003, 7140, 11628, 24310, ... (OEIS A003015 ), без яких - або інших до 33 × 10 ^ (16).
Відомо, що існує нескінченно багато чисел, які відбуваються, принаймні 6 разів в трикутнику Паскаля, а саме рішення
 R = (п, м-1) = (п-1; м)
(22)
дається
м=F- (2k-1) F- (2k)
(23)
N=F- (2k) F- (2k + 1),
(24)
де F_iце - Яго числа Фібоначчі (Singmaster 1975). Перші кілька таких значень Rдля к = 1, 2, ... 1, 3003, +61218182743304701891431482520, ... (OEIS A090162 ).
Існує несподіваний зв'язок між трикутником Паскаля і числами робити через розкладання Холецкого (Г. Хелмс, чол. Comm. 29 серпня 2005). Більш того, незважаючи на те, дві з яких математично пов'язані між собою, є також актуальна зв'язок між трикутником Паскаля і так званого шахрая трикутника ; Цей зв'язок також забезпечує тангенціальну ставлення до тістечко ріжучим проблеми і , отже , до номерами торт .
Трикутник Паскаля ( по модулю 2) виявляється еквівалентним Серпінського ситі (Wolfram 1984; Крандалл і Pomerance 2001; Borwein і Bailey 2003 С. 46-47.). Guy (1990) дає дещо інші несподівані властивості трикутника Паскаля.



Немає коментарів:

Дописати коментар