Відсотки. Задачі на відсотки

         

Отже всі задачі на відсотки можно поділити на групи:

1.       Задачі на знаходження відсотків від числа.

2.       Задачі на знаходження числа за їх відсотками.

3.       Задачі на знаходження відсоткового відношення.

4.    Задачі на змішування.

5.       Задачі на складні відсотки.

Під час розв'язування задач на відсотки необхідно знати:

1)     означення відсотка;

2)  позначення відсотка;

3)  правило знаходження відсотків від числа;

4)  правило знаходження числа за його відсотками;

5)  правило знаходження відсоткового відношення двох чисел;

6)  поняття про складні відсотки;

7)  формулу складних відсотків.  

Окрім того задачі на проценти можна розв'язувати також кількома способами.

1)        зведенням до дробів;

2)   зведенням до одиниці;

3)   способом пропорцій;

4)   за формулою.

1. З історії відсотків

Відсотки(Проценти) – одне з математичних понять, які часто зустрічаються у повсякденному житті. Відсотки та їхнє обчислення мають дуже давню історію. До нас дійшли таблиці відсоткових нарахувань стародавнього Вавилону (Дворіччя), складені майже 3000 років тому.

         У різних країнах прагнули законодавчо встановити максимально допустимі відсоткові такси. Так, банк Делоського храму (V і ІV ст. до н. е.) встановив норму 10% при звичайних позиках, але у випадках позик для торгівлі, пов΄язаних із морськими перевезеннями, ця норма підвищувалася до 20-33 1/3%. У Стародавньому Римі в 347 р. до н. е. Була визначена такса в 5%, але згодом вона збільшується і в 50 р. становила 12%.

         У ХІІІ – ХVІ ст. усі  підручники приділяють значну увагу відсотковим обчисленням. Уже в 1494 році користувалися відсотковими таблицями, які підприємці тримали в секреті.

         Перші друковані таблиці видав у 1584 році Симон Стевін (той самий, який ввів десяткові дроби). У 1585 році він видав підручник “Арифметика”, в який включив ці таблиці.

         Формулою для обчислення відсотків І=kpt/100 (І – інтерес, тобто відсоткові гроші, k – капітал, p – процента такса, t - час) користуються з 1732 р., а з 1821 р. вона з΄являється в шкільних підручниках.

         Згодом відсотки почали використовувати не тільки при грошових розрахунках. Сьогодні у відсотках виражається вологість, жирність, схожість насіння, вміст металу в руді, цукру в цукрових буряках тощо. Тому знання відсотків необхідне кожній людині.

         Дуже часто можна побачити або почути, що, наприклад, у виборах взяли участь 56,3% виборців, рейтинг переможця хіт-параду дорівнює 74%, банк нараховує 20% річних, молоко містить 2,5% жиру, тканина містить 100% бавовни і т.д. Очевидно, що без розуміння такої інформації в сучасному суспільстві просто важко було б існувати. Ще з молодших класів нам відомо, що відсотком від будь-якої величини – грошової суми, кількості учнів школи і т.д. – називається одна сота її частини. Отже, відсотки – це дроби зі знаменником 100. Оскільки такі дроби часто вживаються, то для їхнього позначення ввели спеціальний символ %. Значок % виник у ХV ст. в Італії. Запис 1% означає 1/100, або 0,01; 5% - це 5/100, або 0,05 і т.д.

         Слово “процент” походить від латинського рro centum, що означає “від сотні”, “зі ста”, звідси і дві назви – процент і відсоток.

         Тепер проценти набули значно більшого поширення. Звичайно, як і раніше, проценти використовують у грошових розрахунках. Проте ще частіше використовують їх: а) у хімії (процентний склад розчинів, сполук); б) у біології (процент вологи, процент схожості); в) у фізиці (коефіцієнт корисної дії, коефіцієнт тертя); г) у виробництві (процент виконання завдання); д) у школі (процент успішності, відвідування) тощо.

3. Теоретичні відомості про відсотки та типові задачі.

         Вперше ознайомлюють з відсотками учнів  5 класу при вивчені теми “Відсотки”, на яку відведено за програмою 10 год.

         Відсоткам є різні означення:

         Відсотками називають соту частину  числа.

         Відсотками є дріб із знаменником 100.

         Відсотки – це не що інше, як соті частини, особливим способом записані.

         Розв΄язування багатьох задач з теми “Відсотки” допомагає знайомитися з такими часто вживаними поняттями, як ціна, собівартість продукції, продуктивність праці, вологість рослине або їх плодів, міцність розчину. Тобто поняття відсотків часто використовується в господарських і статистичних розрахунках для числової характеристики та порівняння фактів і явищ, що вивчаються.

         У найпростіших задачах на проценти деяка величина а  приймається за 100% (ціле), а її частина в (правильна або неправильна) вважається числом p%:

100%

                                                                                           100% - а

Р% - в                                                                               Р% - в

         Залежно від того, що невідоме – а, в чи р, виділяються три  типи задач.

         1. Знаходження процента від числа (знаходження в). Щоб знайти р% від числа а або 0,01р від а, треба це число а помножити на 0,01р. Тобто, в=0,01р а. Це формула процентів. Наприклад, 40% від 35 кг дорівнюють

35 · 0,4 = 14 кг, а 145% від х дорівнюють 1,45х.

2. Знаходження числа за його процентом (знаходження а).

         Щоб знайти число за його процентом, треба частину, що відповідає цьому проценту, поділити на 0,01р. Тобто р% від числа а є таке число в, що

а=в:0,01р.

         Наприклад, якщо 20% від деякої суми становить 50 грн, то вся сума дорівнює 50:0,2=250 грн.

         Наступна зустріч з відсотками відбувається в 6 класі при вивченні теми: “Відсоткове відношення двох чисел”, на яку відведено всього 4 год.

3. Знаходження процентного відношення двох чисел (знаходження р).

Щоб знайти, скільки процентів перше число становить від другого, треба перше число поділити на друге і результат помножити на 100. Тобто, а від в у відсотках: р= а/в · 100%. Наприклад, 9 г солі в розчині масою 180 гр становлять 9/180 · 100%=5% розчину.

Частка двох чисел, виражена в процентах називається процентним відношенням цих чисел. Тому, р=а/в · 100(%) – називається правилом знаходження процентного відношення двох чисел.

Отже в шкільному курсі математики (5 – 6 кл.) розглянуто найпростіші задачі на відсотки:

1)   знаходження відсотків від числа

2)   знаходження числа за  відсотками

3)   знаходження відсоткового відношення чисел.

Після вивчення теми “Пропорції в 6 кл”.

Можна запропонувати єдину схему – таблицю розв΄язування цих типів задач на відсотки за допомогою пропорцій.

	Знаходження процента від числа	Знаходження числа за процентами	Знаходження процентного відношення чисел
Записати коротко умову	100% - а р% - х	100% - у р% - в	100% - а р% - в
Складемо пропорції	=	=	=
Знайдемо невідомі члени пропорції	х =	у =	р = (%)

         Україна має безліч проблем, розв΄язувати які доведеться майбутнім випускникам школи. Тому кожному громадянину потрібна насамперед фундаментальна загальна підготовка.  Вивчаючи тему  “Елементи прикладної математики”  покажемо, як практично використовуються знання і вміння, пов΄язані з математикою, в економіці, банківській справі, хімії, а саме – відсоткові розрахунки.

В курсі вивчення теми “Елементи прикладної математики” (9 кл.) розглядаються задачі на складні відсотки. Коли деяка величина збільшується на постійну кількість процентів за кожний фіксований період часу то будемо користуватись формулою виду:

А_n = (1 + ) · А

де Аn – деяка величина, яку одержимо після періоду n, p% - певні відсотки від величини А.

         Ця формула описує багато конкретних ситуацій і називається формулою простого процентного зростання.

         Аналогічна формула виходить, якщо деяка величина зменшується за даний період часу на певну кількість процентів.

         У цьому випадку (1 – 0,01 рn) · А = Аn

         Ця формула також називається формулою простого процентного зростання, хоч задана величина насправді зменшується.

         Наприклад:

         Банк виплачує вкладникам кожного місяця 2% від внесеної суми. Клієнт зробив вклад у розмірі 500 грн. Яка сума буде на його рахунку через півроку?

         Розв΄язання.

         Для розв΄язання задачі досить підставити в формулу величину процентної ставки р=2, кількості місяців n=6 і початкового вкладу А=500:

         (1 + 0,01 · 2 · 6) · 500 = 1,12 · 500 = 560 (грн).

Відповідь. Через півроку на вкладі буде 560 грн.

Ще розв΄яжемо одну задачу.

Нахай банк нараховує р відсотків річних, внесена сума дорівнює А грн., а сума, яка буде на рахунку через n  років, дорівнює Аn грн..

р%  від А становлять 0,01 рА грн., і через рік на рахунку виявиться сума:

А₁ = А + 0,01рА = (1 + 0,01р)А,

тобто, початкова сума збільшиться в 1 + 0,01р разів.

За наступний рік сума А1 збільшиться у стільки ж разів, і тому через два роки на рахунку буде сума:

А₂ = (1 + 0,01р) А₁ = (1 + 0,01р)(1 + 0,01р)А=(1 + 0,01р)² · А.

Аналогічно, А₃=(1 + 0,01р)³ · А і т.д.

Інакше кажучи, справедлива рівність

А_n = (1 + 0,01р)ⁿ · А.

Цю формулу називають формулою складного процентного зростання, або просто формулою складних процентів.

Відмінність простого і складного зростання полягає у тому, що при простому зростанні процент кожного разу обчислюють, виходячи з початкового значення величини, а при складному зростанні він обчислюється з попереднього значення.

Інакше кажучи, при простому зростанні 100% - завжди початкова сума, а при складному зростанні 100% = це попереднє значення величини.

Одержану формулу можна застосувати, звичайно, не лише до задач про зростання вкладу, але й до будь-якої ситуації, коли розглядувана величина за кожен заданий проміжок часу збільшується на певну кількість процентів, рахуючи від попереднього її значення. При зменшенні величини на певну кількість процентів, рахуючи від попереднього її значення, в формулі, як і для простого зростання, з΄являється знак мінус.

Наприклад:

Яка сума буде на терміновому вкладі вкладника через 4 роки, якщо банк нараховує 10% річних і внесена сума дорівнює 2000 грн ?

Розв΄язання.

Підставимо в формулу значення процентної ставки р-10, кількість років n=4 і величину початкового вкладу А=2000. Одержимо:

(1 + 0,01 · 10)⁴ · 2000 = 1,4641 · 2000 = 29,28,2 (грн).

Відповідь:  Через 4 роки на рахунку буде сума 2928,2 грн.