Рівняння Пелля-Ферма. 8-9 клас

Для рівняння ${\displaystyle x^{2}-2y^{2}=1,\,}$ найменшим додатним розв'язком буде пара чисел ${\displaystyle (3,2)\,}$. Всі додатні розв'язки відповідно можна одержати за допомогою формули:

${\displaystyle x_{k}+y_{k}{\sqrt {2}}=(3+2{\sqrt {2}})^{k}.}$

Якщо ${\displaystyle (x,y)\,}$ — розв'язки, то розв'язками також будуть числа ${\displaystyle (3x+4y,2x+3y),\,}$ які можна визначити як ${\displaystyle (3,2)\cdot (x,y)}$ згідно з уведеним вище добутком.

Дійсно:

${\displaystyle (3x+4y)^{2}-2(2x+3y)^{2}=(9x^{2}+24xy+16y^{2})-2(4x^{2}+12xy+9y^{2})=x^{2}-2y^{2}\,}$

Рівняння Пелля — діофантове рівняння вигляду:

${\displaystyle x^{2}-ny^{2}=1,\,}$

де ${\displaystyle n}$ — додатне ціле число, що не є точним квадратом цілого числа. Рівняння Пелля є класом діофантових рівнянь другого степеня.  

Рівняння Пелля для довільного n має пару тривіальних розв'язків 

Доведено, що при кожному такому значенні ${\displaystyle n}$ рівняння має задану нескінченну послідовність розв'язків. Одним із застосувань теорії рівняння Пелля є наближення ірраціонального числа ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$ раціональними з якомога меншою похибкою.

Перший загальний метод рішення рівняння Пелл (для всіх N ) було дано Бхаськара II в 1150 році , розширюючи методи Брахмагупти. Викликається (циклічний) метод chakravala , він починається зі складання будь-трійки${\ Displaystyle (а, Ь, к)}$ (Тобто, той, який задовольняє ${\ Displaystyle а ^ {2} -nb ^ {2} = до}$) З тривіальної потрійна ${\ Displaystyle (м, 1, м ^ {2} -N)}$ щоб отримати потрійний ${\ Displaystyle (ат + Nb, а + Ьт, до (т ^ {2} -N))}$, Яке може бути зменшено до

${\ Displaystyle \ зліва ({\ гідророзриву {ат + Nb} {до}} \ ,, \ {\ гідророзриву {а + Ьт} {до}} \ ,, \ {\ гідророзриву {т ^ {2} - N} {k}} \ праворуч).}$

Коли ${\ Displaystyle м}$ вибирається таким чином, щоб ${\ Displaystyle (а + Ьт) / к}$являє собою ціле число, так що є два інших числа в трійці. серед таких${\ Displaystyle м}$, Метод вибирає той, який мінімізує ${\ Displaystyle (м ^ {2} -N) / к}$, І процес повторюється. Цей метод завжди завершується розчином (доведеною Лагранж в 1768 році). Бхаськара використовував його , щоб дати рішення х = 1766319049, у = 226153980 до горезвісної N = 61 випадку. ^[5]

Рівняння Пелля для довільного n має пару тривіальних розв'язків ${\displaystyle (\pm 1,0).}$

У випадку коли n не є точним квадратом існує нескінченна кількість розв'язків.

Якщо ${\displaystyle {\frac {p_{i}}{q_{i}}}}$ — наближені дроби розкладу ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$ у ланцюговий дріб з періодом k, то додатні розв'язки рівняння Пелля мають вигляд:

${\displaystyle x=p_{km-1},\quad y=q_{km-1}}$

де m — будь-яке натуральне число таке, що km є парним.

Всі додатні розв'язки рівняння Пелля можна одержати з формули:

${\displaystyle x_{k}+y_{k}{\sqrt {n}}=(x_{1}+y_{1}{\sqrt {n}})^{k}.}$

де k — будь-яке ціле, а (х₁, у₁) — розв'язок з найменшими додатними значеннями невідомих.

Еквівалентно розв'язки можна знайти із рекурентних співвідношень:

${\displaystyle x_{k+1}=x_{1}x_{k}+ny_{1}y_{k},\,}$

${\displaystyle y_{k+1}=x_{1}y_{k}+y_{1}x_{k}.\,}$

Пара (x, у) є розв'язком рівняння Пелля тоді і тільки тоді, коли норма числа ${\displaystyle x+y{\sqrt {n}}}$ у розширенні ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {n}})}$ поля ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ рівна одиниці:

${\displaystyle N(x+y{\sqrt {n}})=(x+y{\sqrt {n}})(x-y{\sqrt {n}})=x^{2}-ny^{2}.}$

Зокрема, рішенню відповідає оборотний елемент кільця ${\displaystyle Z[{\sqrt {n}}]}$. Тому, зважаючи на мультиплікативність норми, розв'язки можна множити і ділити: розв'язкам ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ і ${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$ можна поставити у відповідність розв'язки

${\displaystyle (x_{1}x_{2}+ny_{1}y_{2},x_{1}y_{2}+y_{1}x_{2}),\quad (x_{1}x_{2}-ny_{1}y_{2},-x_{1}y_{2}+y_{1}x_{2}).}$