ДІОФАНТОВЕ РІВНЯННЯ ДРУГОГО СТЕПЕНЯ З ДВОМА НЕВІДОМИМИ

ДІОФАНТОВЕ РІВНЯННЯ ДРУГОГО СТЕПЕНЯ

З ДВОМА НЕВІДОМИМИ

Означення. Рівняння вигляду

ах² + bxy + cy² + dx + ey + f = 0,          (*)

де а²+ c² + b²≠ 0,  а, b, c, d,  e, f  - відомі цілі числа,  х, у – невідомі цілі числа, називається діофантовим рівнянням другого степеня з двома невідомими.

Для того, щоб уявляти повну картину відносно рівняння (*) поставимо собі запитання.

Яку геометричну фігуру задає дане рівняння в декартовій площині хОу?

Відповідь на це запитання неоднозначна. Адже рівняння є нелінійним і має два невідомих, тобто рівняння (*) є складним для знаходження цілих розв’язків (х, у). І ось чому.

Якщо а = с, b = 0,  d,  e, f - відомі ненульові цілі числа, то рівняння (*) визначає коло в декартовій площині хОу.  За цієї умови рівняння (*) можна тотожними перетвореннями звести до стандартного рівняння кола:

(x- n)² + (y - m)² =  R².

Якщо а ≠ 0, b²+c² = 0, d,  e, f - відомі ненульові цілі числа, то рівняння (*) визначає квадратичну параболу в декартовій площині хОу. За цієї умови рівняння (*) можна тотожними перетвореннями звести до стандартної квадратичної функції:

 y = qx² + px + g.

Якщо b ≠ 0, а²+ c² + d²+ e²+f ² = 0 - відомі ненульові цілі числа, то рівняння (*) визначає прямі в декартовій площині хОу. За цієї умови рівняння (*) зводиться до двох рівнянь прямих:

 х = 0, у = 0.

Якщо b ≠ 0, f ≠ 0,  а² + c² + d²+ e² = 0 - відомі ненульові цілі числа, то рівняння (*) визначає гіперболу в декартовій площині хОу. За цієї умови рівняння (*) зводиться до оберненої пропорційності:

 у = k/х.

Якщо а =1, с = 1, b = -1,  d = 2,  e = -4, f  = 0, то рівняння (*) визначає еліпс в декартовій площині хОу.  За цієї умови рівняння (*) можна тотожними перетвореннями звести до стандартного рівняння еліпса:

k(x- n)² + l(y - m)² =  R.

Якщо a = c,  f ² + b ² + d²+ e² = 0, то рівняння (*) визначає одну точку (0; 0) в декартовій площині хОу. За цієї умови рівняння (*) зводиться до рівняння:

 х² + y² = 0.        

Якщо a =  c,  f  >0,  b ² + d²+ e² = 0, то рівняння (*) не визначає точок  в дійсній декартовій площині хОу. За цієї умови рівняння (*) зводиться до рівняння:

 х² + y² = - f.        

Нас цікавлять цілі розв’язки діофантового рівняння (*). Отже, із вище зазначених прикладів маємо зробити висновок: цілих розв’язків у даного рівняння може: не існувати, бути обмеженою кількістю і бути безмежною множиною.  Якщо у рівняння (*) існують розв’язки, то серед них можуть виявитися(або не виявитися) цілі розв’язки – це точки, що лежать на фігурі, яку задає рівняння, і мають цілі значення абсциси та ординати.

На еліпсі, гіперболі та колі в   дійсній декартовій площині хОу можуть існувати точки з обома цілими координатами, або не існувати.

На еліпсі, гіперболі та колі в   дійсній декартовій площині хОу при умові існування точок з обома цілими координатами їх обмежена кількість. Їх шукають методом перебору цілих значень на деякому обмеженому проміжку із областей значень та визначень даного рівняння.

На квадратичній параболі, на прямій  в   дійсній декартовій площині хОу область визначення та область значень необмежена, тому існують випадки, коли можуть існувати точки з обома цілими координатами, та випадки, коли не існує таких точок.  

На прямій  в   дійсній декартовій площині хОу при умові існування хоча б однієї точки з обома цілими координатами, тоді  таких цілочисельних точок на даній прямій необмежена кількість. І відповідні координати (і абсциси і ординати) цілих точок на прямій мають закономірності двох арифметичних прогресій. Тому розв’язок діофантового рівняння (*) може бути записаний лінійними формулами, які задають цілі числа арифметичної прогресії через один цілий параметр k. Відстань між сусідніми точками з обома цілими координатами на прямій завжди однакова і ця відстань залежить від значення різниці арифметичної прогресії. Отже, щільність таких точок постійна величина.

До речі, у цьому випадку ліва частина рівняння (*) має розкладатися на два лінійних множники вигляду kx + my + n.

Варто мати на увазі, що одна і та ж арифметична прогресія може бути записана різними лінійними формулами вигляду

х_m = am  + b_n,

де  b_n – довільний член даної арифметичної прогресії, а – різниця цієї арифметичної прогресії.

На квадратичній параболі   в   дійсній декартовій площині хОу при умові існування точок з обома цілими координатами їх необмежена кількість. І відповідні координати цілих точок на параболі  мають закономірності послідовності типу квадратичної. Відстань між сусідніми точками з обома цілими координатами постійно змінюється і вона залежить від значення номера члена послідовності. Отже, щільність таких точок непостійна.

Означення. Дві цілочисельні арифметичні прогресії вигляду

х = n₁k + m₁,

у = n₂k + m₂

називаються однопараметричним розв’язком  діофантового рівняння  другого степеня з двома невідомими (1), який записують парою чисел

(х, у) = ( n₁k + m₁, n₂k + m₂),                (2)

де  n₁, m₁, n₂,  m₂ – цілі числа, k – цілочисельний параметр, якщо пара чисел (2) задовольняє рівняння (1). 

Виконаємо підстановку однопараметричного розв’язку (2) у рівняння (1).

ах² + bxy + cy² + dx + ey + f = а(n₁k + m₁)² + b(n₁k + m₁)( n₂k + m₂) + c(n₂k + m₂)² + d(n₁k + m₁) + e(n₂k + m₂) + f = 0,         

Розкриємо повні квадрати:

а(n₁ ²k² + 2n₁ m₁k  + m₁²) + b(n₂n₁k² + m₁n₂k + m₂n₁k + m₁m₂) +

+ с(n₂ ²k² + 2m₂n₂k  + m₂²) + d(n₁k + m₁) + e(n₂k + m₂) + f = 0,

Зведемо подібні доданки з відповідними параметрами k²,  k,  k ⁰:

(аn₁ ²  + bn₂n₁ + cn₂²)k² + (2n₁ m₁a + m₁n₂b + m₂n₁b+2m₂n₂c)k +

+( am₁²  + bm₁m₂ + cm₂² + dm₁ + em₂ + f)= 0*k² + 0*k¹ + 0*k ⁰.

Прирівняємо коефіцієнти при параметрі k²,  k,  k ⁰  у лівій та правій частині останньої рівності, отримаємо систему трьох нелінійних рівнянь для визначення чотирьох невідомих n₁, m₁, n₂,  m₂:

аn₁ ²  + bn₂n₁ + cn₂² = 0,                                (3)

2n₁ m₁a + m₁n₂b + m₂n₁b+2m₂n₂c = 0,          (4)

am₁²  + bm₁m₂ + cm₂² + dm₁ + em₂ + f = 0.    (5)

Отже, постає питання про існування та знаходження розв’язків цієї системи рівнянь в цілих числах.

Рівняння (3) пов’язує між собою у квадратичній залежності два невідомих  n₂ , n₁. До речі, взаємна заміна невідомих n₂  на  n₁ змінює рівняння (3).

Зрозуміло, що варто розглянути випадок системи, коли у рівняння (3) маємо тривіальний розв’язок (0; 0), тобто n₂  = 0,  n₁ = 0. Тоді  рівняння (5) визначає умови на цілі розв’язки рівняння (1), а саме можливе існування двох цілочисельних пар (х, у):

x₁ = {- (bg+  d) + [(b²  - 4ac)g²  + (2bd- 4ae)g + (d² - 4af)]^0,5 }(2а)^-1, 

у₁ = g.  

x₂ = {- (bq+  d) - [(b²  - 4ac)q²  + (2bd- 4ae)q + (d² - 4af)]^0,5 }(2а)^-1, 

у₂ = q.  

    

Рівняння (5) пов’язує між собою у квадратичній залежності два невідомих  m₂ , m₁.  Проте, якщо розглядати випадок системи, коли

f =0,

то існує тривіальний розв’язок рівняння (5), тобто m₂  = 0,  m₁ = 0.

Тоді  рівняння (3) визначає умови на цілі розв’язки рівняння (1), а саме за певних можливе існування двох цілочисельних пар (х, у):

х₃ = (-b - (b²  - 4ac)^0,5 )(2а)^-1) k

у₃ = k.      

х₄ = (-b + (b²  - 4ac)^0,5 )(2а)^-1) k

у₄ = k.      

З’ясуємо ці умови далі.

Рівняння (4) пов’язує між собою у квадратичній залежності чотири невідомих  m₂ , m₁, n₂ , n₁. Перетворимо це рівняння:

(2m₁a + m₂b )n₁+(2m₂c + m₁b)n₂  = 0,         

(2m₁a + m₂b )n₁ = -(2m₂c + m₁b)n₂ 

n₁: n₂ = -(2m₂c + m₁b):(2m₁a + m₂b )

далі буде показано, що

n₁: n₂ = (-b - (b²  - 4ac)^0,5 )(2а)^-1.

Для початку перетворимо нелінійне рівняння (3). Виразимо одне невідоме через інше. Розглянемо його, як квадратне рівняння відносно n₁:

аn₁ ²  + bn₂n₁ + cn₂² = 0.                  (6)

Постає питання існування невід’ємного дискримінанту, як точного цілого квадрату:

D = b²n₂²  - 4acn₂² = (b²  - 4ac)n₂ ².       (7)

Вважатимемо, що  (b²  - 4ac) = р² – цілий точний квадрат.   Тоді

 D^0,5 = n₂р                    

Тоді постає питання існування цілих коренів квадратного рівняння     (6):

 n₁₁ = (-bn₂ + n₂р)(2а)^-1 = n₂(-b + р)(2а)^-1,        (8)

n₁₂ = (-bn₂ - n₂р)(2а)^-1  = n₂ (-b - р)(2а)^-1.          (9)

Таким чином, якщо число

(b²  - 4ac) – це невід’ємний точний квадрат,        (10)

отримуємо пряму пропорційність із коефіцієнтом пропорційності:

-b - (b²  - 4ac)^0,5 )(2а)^-1

між числами n₂ , n₁.

І тільки  при умові, що

(-b - (b²  - 4ac)^0,5 )(2а)^-1)  – це ціле число          (11)

можна вести мову про подальше дослідження існування цілих розв’язків рівняння (1).

Перетворимо нелінійне рівняння (5). Виразимо одне невідоме через інше. Розглянемо його, як квадратне рівняння відносно m₁.

am₁²  +(bm₂ +  d)m₁ + (cm₂² + em₂ + f) = 0.                        (12)

Знову постає питання існування невід’ємного дискримінанту, як точного цілого квадрату:

D = (bm₂ +  d)²  - 4a(cm₂² + em₂ + f)=

=b²m₂² +2bm₂d + d²  - 4acm₂² - 4a em₂ - 4af =

=(b²  - 4ac)m₂²  + (2bd- 4ae)m₂ + (d² - 4af).                       (13)

Вважатимемо, що  

(b²  - 4ac)m₂²  + (2bd- 4ae)m₂ + (d² - 4af) = q² – цілий точний квадрат.   Тоді матиме місце для (13) рівність повного квадрату

(b²  - 4ac)m₂²  + (2bd- 4ae)m₂ + (d² - 4af)= (m₂ - h)².                   (14)

де h – деяке ціле число

 Ця умова (14)  виконується, якщо отримаємо нульовий дискримінант у лівому квадратному виразі відносно m₂, а саме виходимо на коефіцієнти рівняння (1) і це означає виконання умови:   

(2bd - 4ae)² - 4(b²  - 4ac)(d² - 4af) = 0.                     

Поділимо на 4 і отримаємо:

(bd - 2ae)² - (b²  - 4ac)(d² - 4af)=0.                (15)

Таким чином, корені квадратного рівняння (12):

m₁₁  ={ - (bm₂ +  d) + [(b²  - 4ac)m₂²  + (2bd- 4ae)m₂ + (d² - 4af)]^0,5 }(2а)^-1,        (8)

m₁₂  ={ - (bm₂ +  d) - [(b²  - 4ac)m₂²  + (2bd- 4ae)m₂ + (d² - 4af)]^0,5 }(2а)^-1,        (9)

при умовах (13) – (15) можна записати ці корені у такому вигляді:

m₁₁  ={ - bm₂ – d + m₂ - h }(2а)^-1,        

m₁₂  ={ - (bm₂ +  d)  - (m₂ – h) }(2а)^-1,        

m₁₁  ={ (1- b)m₂  - (h  + d) }(2а)^-1,        (10)

m₁₂  ={ (-1- b)m₂  + (h  - d) }(2а)^-1,        (11)

Таким чином, якщо виконується умова (10), (11), (13), (15),

отримуємо лінійну залежність між  числами m₂ , m₁.