Досконалі числа. Співдружні числа. Кругові числа

                         

Кругові числа.

Властивості  періодів дробів 1/р,

де р= 7, 17, 29,  та інші прості числа.

Як і всі науки, математика виникла з практичних потреб людей. Колись було ого­лошено велику премію за написання книги „Як людина жила без числа", однак премія не була видана: мабуть, ні один дослідник - письменник не зміг описати життя людини, яка не має ніякого поняття про число.

В людській свідомості спочатку було поняття не про число, а про множину, як те є сукупністю, тобто ціле за певними ознаками. Наприклад, неграмотна людина з лісів Центральної Африки вміє рахувати тільки до трьох, але, не дивлячись на це, вона може впевнено обміняти велику кількість слонових бивнів на пачки чаю чи інших прянощів. Для цього во­на співставляє кількість бивнів з кількістю пачок чаю,  складаючи їх поряд, пере­конуючись в рівній чисельності сукупностей товару, що обмінюється.

Сучасна людина уже в ранні роки життя легко набуває навичок рахувати, називати числа один, два, три, чотири і т.д.

Цей числовий ряд ми називаємо натуральним, елементи його - натуральними чи­слами. Термін „натуральне число" вперше вживає римський автор Боецій (475 - 524рр.). Свідчення етнографів переконують нас в тому, що до цього часу існують племена, які не мають числівників, крім один, два, три. Ескімос знає і зберігає в пам'яті не число своїх собак, а їх індивідуальні особливості, подібно тому, як дитина, яка ще не вміє рахувати, уявляє свої іграшки і ляльки за їх ознаками.

Пройшло багато тисячоліть, поки люди прийшли до висновку про нескінченість ря­ду натуральних чисел, і зрозуміли, що не існує найбільшого натурального числа. Цю дум­ку можна знайти у грецького математика Архімеда (287 - 212рр.) в його творі „Псамміт або обчислення  піщинок". В цьому творі Архімед показує, що числовий ряд можна про­довжувати необмежено, але для реальних задач досить дуже невеликого відрізка цього ряду. Безумовно, людина цінить числа перш за все за ту користь, яку вони приносять їй в боротьбі за існування.

Зауваження. Іноді непорожню множину N називають множиною чи рядом натуральних чисел, а її елементи – натуральними числа­ми, якщо для неї справджуються подані далі п'ять аксіом Пеано.

Аксіома 1. Множина N містить елемент, який називають оди­ницею і позначають 1. (Ця аксіома задає найменший елемент числової множини).

Аксіома 2. Для довільного елемента n з N існує елемент n⁺ з М, який називають наступним за n. (Ця аксіома вказує, що найбільшого натурального числа не існує. Наступне за 1 натуральне число назвемо "два" і позначимо 2, наступне за 2 натуральне число назвемо "три" і позначимо 3 і т. ін. Дана аксіома вказує на очевидний зв'язок між множиною натуральних чисел та лічбою.)

Аксіома 3. Одиниця не є наступним елементом жодного з еле­ментів N.

Аксіома 4. Якщо для довільних двох елементів N відповідні їм на­ступні елементи збігаються, то самі ці елементи рівні.

Аксіома 5. Якщо множина М містить одиницю ряду натураль­них чисел і для кожного натурального числа множини М наступне для нього також належить до М, то ряд натуральних чисел N –підмножина М. (Зміст 5-ої аксіоми Пеано полягає у тому, що всі натуральні числа можна отримати з одиниці переходом до наступного натурального числа.)

Перед людьми, які засвоїли натуральний ряд чисел до деякої досить далекої межі, стала необхідність створення зручних способів назви і записів чисел. Потрібно було розв'язати задачу усної і писемної нумерації. В різні епохи окремими народами ця задача розв'язувалась по-різному. При великому обсязі числових множин неможливо було об­межитись простим способом, який давав би кожному числу свою власну назву. Людська пам'ять обмежена. І люди додумались, що рахувати потрібно групами, називаючи групи тими ж іменами, як і одиниці, але з доповненням назви груп.

Різні народи вживали різні лічильні групи. Значна більшість народів вживала і вжи­ває десяткові групи рахунку, тобто десяткову систему числення. Для створення назв чи­сел за цією системою потрібно мати десять слів для назви перших десяти чисел і потім назви для нових лічильних груп - сто, тисяча і т.д.

Єдиною причиною, яка спонукала більшість народів вибрати для себе десяткову систему числення, є наявність в людини на руках десяти пальців, які були речовою осно­вою рахунку. Десять пальців - це та стандартна множина, з якою порівнювала первісна людини всяку іншу множину до тих пір, поки у неї не створилась в свідомості нова стан­дартна множина, у вигляді абстрактного ряду натуральних чисел.

Рахунок на пальцях був необхідний в торговельних місцях, де зустрічалися пред­ставники різних народів, які не мали спільної мови. Практична потреба виробила спільний рахунок на пальцях, зрозумілий без слів, і цьому рахунку навчали дітей в школі.

У різних народів часто число п'ять називається „рукою", десять - „дві руки", два­дцять - „вся людина", тобто 2 руки і 2 ноги. Існування у деяких народів двадцяткової сис­теми числення (у майя в Центральній Америці, у басків, у кельтських народів в минулі ча­си) має, мабуть, ту ж основу - рахунок на пальцях.

Вчення про властивості цілих чисел у деяких стародавніх авторів (Піфагор, Платон, Нікомах та ін.) було охоплено містикою. Однак, уже і у цих авторів є початки наукових даних про натуральне число.

Роботами Піфагора (VI - V ст.), Евкліда, Архімеда, Ератосфена (III ст. до н.е.) і Діофанта (III - IV ст. н.е.), а в нові часи працями Ферма (1601 - 1665 рр.), Ейлера (1707 -1783 рр.), Лежандра (1752 - 1833 рр.), Гауса (1777 - 1855 рр.), П.Л. Чебишева (1821 -1894 рр.) і сучасних математиків, на перше місце серед яких слід поставити І.М. Виноградова, - вчення про число стало галуззю математики, яка багатством і глибиною своїх проблем, складністю і обширністю своїх методів, привертала до себе увагу найвидатніших математиків.

Піфагорійці в усьому шукали досконалість. Доскональними числами вони називали такі числа, в яких сума дільників (без даного числа) дорівнює самому числу.

Наприклад, 6 = 1 + 2 + 3; 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.

Ще Евклід у III ст. до н.е. займався проблемою доско­налих чисел. З того часу справа не набагато зрушилась вперед, хоча досконалим числам велику увагу приділяли великі математики, серед них Декарт та Ейлер.

Досконалими деякі грецькі математики називали числа, що дорівнюють добутку своїх дільників (самі числа, як дільники до уваги не беруться).

Наприклад,    8= 1∙2∙4;    10 = 1∙2∙5;    14 = 1∙2∙7.

Число 6 є найдосконалішим, оскільки воно досконале за двома ознаками:

6 = 1 + 2 + 3; 6 = 1∙2∙3.

Існують також співдружні числа. Коли у Піфагора запитали „Що таке друг?", він від­повів; „Друг - це друге „Я", а дружба - це відношення чисел 220 і 284".

Імовірно саме звідси і походить ця надзвичайна назва чисел - співдружні. Але в чому ж полягає така числова „дружба"?

Два числа А і В називаються співдружними, якщо сума дільників числа А дорівнює числу В і навпаки, сума дільників числа В дорівнює числу А. Самі числа як дільники до уваги не беруться.

Такими „числами - друзями" є 220 і 284. Справді

220 =1+2+4+71+142,

тобто 220  дорівнює    сумі  дільників   числа         284.

З       іншого       боку

284 = 1 + 2+ 4 + 5 + 10+ 11 + 20+ 22+ 44+ 55+ 110.

Тобто, 284 є сумою дільників числа 220.

Існують загальні формули для знаходження співдружних чисел. Ось приклади пар співдружних чисел:

2620 і 2621,   5020 і 5564,    6232 і 6368,   10744 і 10856,    17296 і 18416,   63020 і 76084,    66928 і 66992.

Цікавими є також кругові числа. Ці числа мають дивовижні властивості, але їх го­ловна особливість полягає в так званій круговій послідовності. Наприклад, число 142 857,

помножене на 2, 3, 4, 5, 6 (тільки не на 7), дає добуток, який складається з цих самих цифр, але розміщених в іншому порядку, зберігаючи циклічність черги запису:

142 857∙2 = 285 714,

142 857∙3 = 428 571,

142 857∙4 = 571428.

142 857∙5 = 714285

142 857∙6 = 857142

„Розгадкою", що може привести до розкриття таємниці кругових чисел, є добуток

142 857∙7 = 999 999.

Число 142 857 є періодом числа  1:7 записаного у вигляді десяткового. Усі властивості числа 142 857 можна знайти у кожному числі, яке є періодом дробу типу 1/р, якщо цей період має (р -1) цифру, а р– просте число.

Наприклад, 1/17 =0,(0588235294117647).

Якщо період цього дробу позначити через а, то:

1∙а = 0588235294117647,

2∙а = 1176470588235294,

3∙а = 1764705882352941,

16∙а = 9411764705882352,

………………………………

17∙а = 9999999999999999.

Такі самі властивості має період дробу 1/29 та 1/1913.

Повернемося до числа 142 857. Дві „половинки" числа 142 857 дають в сумі 999:   142 + 857 = 999. Таке саме відбувається з усіма круговими числами.

                                                                                      Візуальна поезія в числах

                                                                                          Сергія Вінницького

13-й  калейдоскоп   кругової  поруки

                                                                      Моїй  мамі  Надії

076923∙1   = 076923,   076+923 = 999 = 153+846,   153846 = 076923∙2,  

076923∙3   = 230769,   230+769 = 999 = 384+615,   384615 = 076923∙5,       

076923∙4   = 307692,   307+692 = 999 = 461+538,   461538 = 076923∙6,   

076923∙9   = 692307,   692+307 = 999 = 538+461,   538461 = 076923∙7,   

076923∙10 = 769230,   769+230 = 999 = 615+384,   615384 = 076923∙8,   

           

                                                                                     28.01.2007

7-й  калейдоскоп   кругової  поруки

                                                                                            Моєму тату  Петру

142 857∙1 = 142857,  142+857= 999 = 571+428,  571428 = 142 857∙4.

142 857∙2 = 285714,  285+714= 999 = 714+285,  714285 = 142 857∙5

142 857∙3 = 428571,  428+571= 999 = 857+142,  857142 = 142 857∙6

                                                                                    28.01.2007