Геометрична прогресія

Геометрична прогресія — послідовність чисел, перший член якої не дорівнює нулю, а відношення будь-якого елемента послідовності до попереднього є сталим числом, що називається знаменником прогресії. Знаменник прогресії не дорівнює 1 (одиниці) Якщо модуль знаменника прогресії більше одиниці — прогресія зростаюча, якщо він менше одиниці — прогресія спадна. У випадку коли знаменник прогресії менше нуля — прогресія знакозмінна.

Приклади:

• послідовність степенів 2 є геометричною прогресією: 2, 4, 8, 16, 32, ….
• геометрична прогресія із першим елементом 3, та знаменником −2: 3, −6, 12, −24, 48, …

Позначимо перший член b₁, а знаменник прогресії q. Тоді другий член b₂= b₁* q, третій — b₃= b₂* q= b₁* q², четвертий — b₄= b₃* q= b₁* q³, і так далі.

Тому вираз n-ного члена буде: b_n= b₁q^n-1

Знайдемо суму перших ${\displaystyle n}$ членів геометричної прогресії

${\displaystyle s_{n}=a(r^{0}+r^{1}+r^{2}+r^{3}+...+r^{n-1})\,}$

Помножимо та поділимо праву частину на ${\displaystyle (r-1)\,}$ (${\displaystyle r}$ не може бути 1), добуток ${\displaystyle (1+r+r^{2}+r^{3}+...+r^{n-1})\,}$ на ${\displaystyle (r-1)\,}$ дає ${\displaystyle (r^{n}-1)\,}$, оскільки решта елементів взаємно знищуються, звідси отримаємо:

${\displaystyle s_{n}=a\sum _{k=0}^{n-1}r^{k}=a{\frac {r^{n}-1}{r-1}}}$

Якщо ${\displaystyle \left|r\right|<1}$, то ${\displaystyle a_{n}\to 0}$, тоді:
${\displaystyle S_{n}\to {a_{0} \over 1-r}}$ при ${\displaystyle n\to \infty }$

Властивості

Геометрична прогресія має цікаву властивість:

${\displaystyle a(r^{0}+r^{1}+r^{2}+r^{3}+r^{4}+r^{5}+r^{6}+r^{7}+r^{8}+...)=a(r^{0}+r^{1}+r^{2})(r^{0}+r^{3}+r^{6}+...)\,}$

Наприклад, (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 +…) можна записати як (1 + 2 + 4)(1 + 8 + 64 +…)

Практичне застосування

Формула для суми геометричної прогресії також зручна для обрахунку відсотків по банківських вкладах. Припустимо, Ви кладете $2,000 в банк під 5 % річних. Скільки грошей Ви матимете на рахунку через 6 років?

2,000 · 1.05⁶ = 2680.19

Геометрична прогресія лежить на основі побудови рядів переважних чисел.

Завдання.

Варіант 1

1. Серед даних числових послідовностей знайти тільки геометричні прогресії:

а)1; 3; 9; 27; ...; б)1; -2; 4; -8; … ; в) 0,5; 0,25; 0,125; 0,625; …  ; г) -0,2; 0,4;  -0,8; 0,625; … д) -0,5; -0,05; -0,005;....

2. Дано геометричну прогресію b(n):  2; 8; 32; 128... . запишіть формулу,  знаменник прогресії  і  знайдіть b(4) .

3. У геометричній прогресії b(n)  добуток першого і третього дорівнює 0,25. Чи вірно, що другий член геометричної прогресії дорівнює  або -0,5 або 0,5?  

4. В геометричній прогресії  b(n):  6; 12; 24; …  знайдіть  формулу цієї прогресії  і  b(5).

5. В геометричній прогресії   b(n): -1; 4; -16; … знайдіть  знайдіть  формулу  і  b(6).

6. Запишіть другий і третій чле­ни геометричної прогресії b(n), у якій  b(1) = 2, q = 2.

7. Знайдіть знаменник  q геометрич­ної прогресії b(n),  якщо b₁ = 0,48 , b₂= -1,2.

8. Геометрична прогресія b(n) є спадною послідовністю, при­чому b(1) < 0. Яку умову за­довольняє  знаменник q? Наведіть приклади подібних геометричних  прогресій.

9.  В геометричній прогресії  b(n):  добуток  b(1) b(3)  = 0,49. Знайдіть b(2)  та добуток  a)b(2)b(4); b) b(3)b(5).

10. Восьмий член геометричної про­гресії b(n) дорівнює 10. Чому до­рівнює добуток її сьомого й де­в'ятого членів? Чому до­рівнює добуток її шостого й де­сятого членів?

11.  У скільки разів секундна стрілка рухається швидше, ніж годинникова стрілка?

12. Є дві  геометричній прогресії:  b(n) = 2×3^n-1 і а(n) = 3×2^n-1.  Чи буде  геометричною прогресією послідовність , що утворена добутком цих двох прогресій: c(n) = а(n)b(n)?

Варіант 2

1.Чи вірно, що у геометричної прогресії квадрат   кожного   середнього   члена   дорівнює   добутку рівновіддалених від нього членів? Чи вірно, що у двох різних геометричних прогресій  знаменник   може бути однаковим?

2. Чи є геометричною прогресією послідовність:  -2; -4; -8; -16; -32; ...?

3.Серед даних числових послідовностей знайти тільки геометричні прогресії і вказати її знаменник:

а)0,1; 0,01; 0,001;...; б) 0,2; 0,03; 0,004;...;  в) 0,3; 0,09; 0,027; 0,0081;  г) -0,2; 0,4;  -0,8; 1,6; д) -0,5; -0,05; -0,005;...; 

4. Дано геометричну прогресію b(n):  3; 12; 48; ... . Запишіть b(5) і q. Запишіть формулу цієї послідовності.

5. В геометричній прогресії b(n):  4; 8; 32. Знайдіть  формулу прогресії та q і b(6).

6. В геометричній прогресії b(n): b(n)  = 4×3^n-1. Запишіть формулу прогресії та q і b(4).

7.Запишіть другий і третій чле­ни геометричної прогресії  b(n), у якій b(1)  = 3, q = 2.

8. Знайдіть знаменник геометрич­ної прогресії b(n),  якщо b(2)  = 5,b(4)  =15.

9. Геометрична прогресія b(n) є спадною послідовністю, при­чому b(1)  > 0. Яку умову має за­довольняти знаменник q?

10. Шостий член геометричної про­гресії  b(n) дорівнює 8. Чому до­рівнює добуток її п'ятого й сьо­мого членів? Чому до­рівнює добуток її четвертого й вось­мого членів?           

11. У скільки разів хвилинна стрілка рухається швидше, ніж годинникова стрілка?

12. Є дві  геометричній прогресії b(n): b(n) = 4×5^^n-1 і а(n)  = 5×4^^n-1.  Чи буде  геометричною прогресією послідовність , що утворена добутком цих двох прогресій: c(n)  = а(n)b(n)?

Варіант 3

1. Чи є послідовність арифметич­ною прогресією, якщо її задано формулою a) f(n) = -3n² + 4; б) g(n) = -5n - 5?

2. Чи є послідовність геометричною прогресією, якщо її задано фор­мулою a) f(n) = 5×1^^n-1  ;  б) g(n) = 4n^⁴?

3.Знайдіть п 'ятий член арифметич­ної прогресії а(n), у якій а(1) = 2; d = -4.

4.Знайдіть четвертий член гео­метричної прогресії b(n), у якій b(2)= q= -1.

5.Знайдіть різницю арифметич­ної прогресії а(n), якщо а(5) = 5; d = -3

6. Знайдіть перший член геоме­тричної прогресії b(n), якщо b(5)  = 108; q = 2.

7. Знайдіть суму чотирьох перших членів арифметичної прогресії:  -2; 5; 12; ... .

8. Знайдіть суму чотирьох перших членів геометричної прогресії -2; -6; -18; ... .

9. Знайдіть суму нескінчен­ної     геометричної     прогресії  3 + 0,3 + 0,44+ ….+ 0,444444 + ...

10. При  якому  значенні  m числа m;   m + 2;   m+6    є   послідовни­ми членами геометричної про­гресії?

11. Тіло за першу секунду руху пройшло 7 м, а за кожну наступну секунду - на 3 м більше, ніж за попередню. Яку відстань пройшло тіло за восьму секунду?

12. Потяг, що відійшов від станції, рівномірно збільшує швидкість на 50 м за хвилину. Якою буде швидкість потяга наприкінці двадцятої хвилини?

Варіант 4

1. Чи є послідовність арифметич­ною прогресією, якщо її задано формулою а) а(n) = -7n + 5; б) g(n) = -2n³ + 1?

2. Чи є послідовність геометричною прогресією, якщо її задано фор­мулою a) f(n) = 6×3^n-1  ;  б) g(n) = 6n⁶?

3.Знайдіть п 'ятий член арифметич­ної прогресії а(n), у якій а(1) =33; d = -3.

4.Знайдіть четвертий член гео­метричної прогресії b(n), у якій b(2) = q= -1.

5.Знайдіть різницю арифметич­ної прогресії а(n), якщо а(n) = 5; d = -3

6. Знайдіть перший член геоме­тричної прогресії b(n), якщо b(5)  = 128; q = 2.

7. Знайдіть суму чотирьох перших членів арифметичної прогресії:  -20; 50; 120; ... .

8. Знайдіть суму чотирьох перших членів геометричної прогресії -0,2; -0,6; -1,8; ... .

9. Знайдіть суму нескінчен­ної     геометричної     прогресії  5 + 0,5 + 0,11+ ….+ 0,111111 + ...

10. При  якому  значенні  m числа m;   m + 5;   m+15  є   послідовни­ми членами геометричної про­гресії?

11. Доведіть, що послідовність сум внутрішніх кутів трикутника, опуклого чотирикутника, опуклого п'ятикутника, опуклого  шестикутника  і т.д. утворює арифметичну прогресію. Чому дорівнює її різниця?

12. При вільному падінні тіло проходить за першу секунду 4,9 м, а в кожну наступну на 9,8 м більше. Знайдіть глибину шахти, якщо тіло досягло її дна через 5 с після початку падіння.

Завдання з теми "Прогресії"

1.     Між числами 2,5 і 40 вставте три числа так, щоб усі п’ять чисел утворювали геометричну прогресію.

2.     Між числами 2 і 7 вставте три числа так, щоб усі п’ять чисел утворювали арифметичну прогресію.

3.     Знайти суму всіх двозначних натуральних   чисел.

4.     Сума третього і дев’ятого членів арифметичної прогресії дорівнює 8. Знайти суму перших одинадцяти членів цієї прогресії.

5.     Сума трьох чисел, що становлять арифметичну прогресію дорівнює 12. Якщо до них відповідно додати 1, 2, 11, то утворені числа становитимуть геометричну прогресію. Знайдіть ці числа.

6.     Знайти суму усіх натуральних чисел, які кратні 6 і не більше за 288.

7.     Знайдіть суму усіх натуральних чисел, які кратні 7 і не більше за 287.

8.     Сума перших трьох членів геометричної прогресії дорівнює 31, а сума першого і третього членів дорівнює 26. Знайти сьомий член прогресії.

9.     Між числами 1 і 11 вставте сім чисел так, щоб усі дев’ять чисел утворювали арифметичну прогресію.

10.                       Між числами 2 і 9 вставте три числа так, щоб усі п’ять чисел   утворювали арифметичну прогресію.

11.                       Сума перших чотирьох членів геометричної прогресії дорівнює 30, а сума наступних чотирьох членів дорівнює 480. Знайти суму перших  дванадцяти членів прогресії.

12.                       Сума чотирьох чисел, що утворюють арифметичну прогресію, дорівнює 1, а сума квадратів цих чисел дорівнює 0,3. Знайти ці числа.

13.                       Між числами 2 і 13 вставте чотири числа так, щоб усі шість чисел утворювали арифметичну прогресію.

14.                       Між числами 4 і 9 вставте три числа так, щоб усі п’ять чисел утворювали арифметичну прогресію.

15.                       Знайти суму всіх натуральних чисел, більших за 59, але менших за 150.

16.                       Знайти перший і п’ятий члени геометричної прогресії, знаменник якої дорівнює 3, а сума перших шести членів дорівнює 1820.

17.                       Якою є сума натуральних чисел, які менші за 190 і не кратні 3?

18.                       Між числами 3 і 23 вставте сім чисел так, щоб усі дев’ять чисел утворювали арифметичну прогресію.

19.                       Сума трьох чисел, що становлять арифметичну прогресію, дорівнює 12. Якщо до них відповідно додати 1, 2 і 11, то утворені числа становитимуть геометричну прогресію. Знайдіть ці числа.

20.                        Знайти суму всіх тризначних чисел, які кратні 3.

21.                        Знайдіть перший і шостий член арифметичної прогресії, якщо різниця її дорівнює 9, а сума восьми її перших членів дорівнює 180.

22.                        Три числа, сума яких 21, становлять геометричну прогресію. Якщо до них відповідно додати 2, 3 і 1 то утворені числа становитимуть арифметичну прогресію. Знайдіть ці числа.

23.                        Знайдіть чотири числа, з яких перші три складають геометричну прогресію, а останні – арифметичну прогресію. Сума крайніх чисел дорівнює 14, а сума середніх дорівнює 12.

24.                        Сума троьх чисел, що становлять геометричну прогресію дорівнює 21. Якщо від них відповідно відняти 1, 1 і 4 то утворені числа становитимуть арифметичну прогресію. Знайдіть ці числа.

25.                        Три числа x, y, z утворюють у вказаному порядку геометричну прогресію , а числа x, 2y, 3z утворюють у вказаному порядку арифметичну прогресію . Знайдіть займенник геометричної прогресії , відмінний від одиниці.

26.                        Між числами 1 і 4 вставте дев’ять чисел так, щоб усі 11 чисел утворили арифметичну прогресію .

27.                        Знайдіть перший і пятий члени арифметичної прогресії , якщо різниця її дорівнює 7, а сума шести її перших членів дорівнює 159.

28.                         Знайдіть перший і шостий члени геометричної прогресії , якщо її знаменник дорівнює 2, сума восьми перших членів дорівнює 765.

29.                        Сума третього і п’ятого членів геометричної прогресії дорівнює 10, а сума другого і четвертого членів дорівнює 10/3. Знайдіть четвертий член прогресії .

30.                        Три числа, що дають у сумі 27, становлять арифметичну прогресію . Якщо від них відповідно відняти 1, 3 і 2 , то утворені числа становитимуть геометричну прогресію . Знайдіть ці числа.

31.                        Другий, перший і третій члени арифметичної прогресії , різниця якої відмінна від нуля, утворюють у вказаному порядку геометричну прогресію. Знайдіть її знаменник.

32. В арифметичній прогресії перший член дорівнює 28, а сума 25 перших членів дорівнює 925. Знайти різницю і тридцять шостий член прогресії .

33. Сума трьох чисел, що становлять арифметичну прогресію, дорівнює 15, а сума квадратів цих же чисел дорівнює 93. Знайдіть ці числа.

34.  Три числа утворюють арифметичну прогресію . Сума цих чисел дорівнює 3, а сума їх кубів дорівнює 4. Знайти ці числа.