Поняття множини. Операції над множинами

Одна з привабливих рис теорії чисел — це величезна кількість обманливо простих питаннь, які у той самий час належать до найглибших у математиці. Це означає, що будь-яка зацікавлена в математиці людина може вийти з новою і привабливою проблемою, формулювання якої не потребує спеціальних знаннь, і розпочати дослідження з неї, отримуючи попередні результати, але може статися, що повна відповідь невідома і вимагає цілком нових ідей, а часто і методів з зовсім інших галузей математики, деколи приводячи до виникнення цілого розділу математики.

Чимало питаннь теорії чисел залишаються відкритими протягом cтоліть. Це особливо стосується питаннь про прості числа. До того ж, будь-яка вже розв'язана проблема теорії чисел за невеликою зміною умов веде до нових, які можуть опинитися як набагато легшими, так і набагато важчими за початкове питання. В цьому можна пересвідчитися переглянувши наступну таблицю, у якій наведені деякі з багатьох відомих проблем теорії чисел, що рівною мірою захоплювали, і досі захоплюють, і аматорів, і величезних мислителів від глибокої античності і по цей час.

Поняття множини. Операції над множинами

Поняття множини належить до первісних понять математики, якому не дається означення. Множину можна уявити собі як су­купність деяких предметів, об'єднаних за довільною характерис­тичною ознакою Наприклад, множина учнів класу, множина цифр десяткової нумерації (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), множина натуральних чисел, множина зернин у даному колосі, множина букв українського алфавіту, множина точок на прямій.

Предмети, з яких складається множина, називаються її елементами і позначаються малими буквами латинського алфавіту. Наприклад, а = 5 - елемент множини цифр десяткової нумерації Для позначення множин використовують великі букви латинсь­кого алфавіту або фігурні дужки, всередині яких записуються елементи множини При цьому порядок запису елементів не має значення Наприклад, множину цифр десяткової нумерації мож­на позначити буквою М (чи будь-якою великою буквою латин­ського алфавіту) або записати так {1, 3, 5, 2, 4, 6, 8, 7, 9, 0}.

Належність предмета даній множині позначається символом , а неналежність - символом (інколи ) Наприклад, число 7 А, де А - множина чисел першого десятка, а число 12 A.

Множини бувають скінченні і нескінченні. У скінченній множині міститься певна кількість елементів, тобто кількість елементів скінченної множини виражається натуральним чис­лом Наприклад, множина М цифр десяткової нумерації скінчен­на і містить десять елементів. У нескінченній множині - нескін­ченна кількість елементів. Наприклад, множина натуральних чисел, множина точок прямої - нескінченні множини.

Множина, в якій немає жодного елемента, називається порож­ньою і позначається символом . Наприклад, множина точок перетину двох паралельних прямих - порожня множина

Якщо множина В складається з деяких елементів даної мно­жини А (і тільки з них), то множина В називається підмножиною множини А. У такому разі співвідношення між множинами А і В позначається так В А (читається "В міститься в А" або "В — підмножина А"). Якщо В може й дорівнювати А, то вживається символ В А. Знак називається знаком нестрогого включення, а знак - знаком строгого включення.

Порожня множина є підмножиною будь-якої множини, тобто А.

Саму множину А можна розглядати як підмножину А, тобто А А.

Відношення порядку на множині натуральних чисел

Означення. Натуральне число m більше, ніж натуральне число к, якщо існує таке натуральне число n, що

m = к + n.

В даному разі також кажуть, що к менше, ніж m.

Самі відношення «більше, ніж» та «менше, ніж» записують відповідно в такому вигляді: 

m > к   «число m більше, ніж  число к »

та 

к < m   «число к менше, ніж число m ».

Відношення порядку має такі властивості:

1) Для довільних двох натуральних чисел справджується одне й
лише одне з тверджень: або перше більше, ніж друге, або друге
більше, ніж перше, або вони рівні між собою;

2) Нехай  m>к і к>n,  тоді m>n , тобто,  якщо одне число більше, ніж друге, а друге більше, ніж третє, то перше число більше, ніж третє;

3) Нехай m > к, тоді m+n > к+n, тобто, до обох частин нерівності можна додавати одне й те саме число зі збереженням знаку нерівності;

4) Нехай m > к, тоді mn > кn тобто, обидві частини нерівності можна множи­ти на одне й те саме натуральне число зі збереженням знаку нерівності.

Зауваження. Легко сформулювати властивості, аналогічні до трьох останніх, для відношення порядку "менше", здійснивши формальну замі­ну >(більше) на <(менше).

Найбільше та найменше значення числової множини

Якщо деяка непорожня підмножина натурального ряду містить скінчену(обмежену) кількість чисел, то серед них існує найменше(мінімальне) число цієї підмножини та найбільше(максимальне) число цієї підмножини.

Означення. 

1.        Елемент n називають найменший елемент множини М для відношення порядку <,  якщо   для усіх елементів m з М, що нерівні n, справедлива нерівність n < m.   

Такий елемент, якщо він існує, позначають так: minМ або  

n = min    m;

mÎМ

2.        Елемент n називають найбільший елемент множини М для відношення порядку <,   якщо   для усіх елементів m з М, що нерівні n, справедлива нерівність m < n.  

 Такий елемент, якщо він існує, позначають так: mахМ або

n = max  m;

mÎМ

Зауваження. Найбільшого  натурального числа не існує (див. аксіому 2). Якщо для підмножини А натурального ряду існує таке натуральне число, що більше, ніж будь-який елемент А, то існує найбільший елемент А.

Зауваження. Будь-яку непорожню підмножину натурального ряду можна впорядковати, тобто, усі числа підмножини можна записати  в порядку зростання від найменшого до найбільшого.

 Будь-яку непорожню підмножину натурального ряду можна впорядковати, тобто, усі числа підмножини можна записати  в порядку спадання від найбільшого до найменшого.

Розподілити  двадцять  тверджень на три групи:

·         перша група тверджень, які завжди правильні на множині натуральних чисел;

·         друга група тверджень, які завжди неправильні на множині натуральних чисел;

·         третя група тверджень, які не входять до першої та до другої групи.

1. Існує  натуральне число між двома числами 2m  та  2m - 1,  де  m  − натуральне число.
2. Серед  обмеженої кількості  натуральних чисел  є  найбільше та найменше число, які можна записати  або 5m,  або 5m + 1, або 5m + 2, або  5m + 3,  або 5m  - 1,  де  m − натуральне число.
3.  Серед  необмеженої кількості  натуральних чисел  є  найменше число, які можна записати  або 9m,  або 9m + 1, або 9m + 2, або  9m + 3,  або 9m + 4,  9m + 5, або 9m + 6, або  9m + 7,  або 9m - 1,  де  m − натуральне число.
4. Серед будь-яких двох парних   натуральних  чисел  вигляду  існує  непарне число, яке можна записати або 9m - 1, або  9m - 3,  або 9m - 5, або  9m -7,  ,  де  m − натуральне число.
5. Не можливо  знайти  парне числа серед будь-яких двох непарних   натуральних  чисел,  які записуються  у вигляді  або 5m,  або 5m+2, або 5m+4,  де  m − натуральне число.
6. Одиниця не є наступним елементом жодного з чисел натурального ряду.
7. Для довільного натурального числа існує наступне натуральне число.
8. Якщо для довільних двох  натуральних чисел відповідні їм на­ступні числа збігаються, то самі ці елементи рівні.
9. Якщо множина М складається з натуральних чисел і містить одиницю ряду натураль­них чисел та для кожного натурального числа множини М наступне для нього також належить до М, то ряд натуральних чисел являється  підмножиною М.
10.  Серед будь-яких  натуральних чисел вигляду 4m  або  4m +1, або 4m + 2, або  4m + 3   не можливо  знайти  найменшого числа,  яке записуються  у вигляді  7m +1, або 7m+2,  де  m − натуральне число.
11. Серед будь-яких  натуральних чисел вигляду 4m  або  4m+1, або 4m+2, або  4m+3  можна  знайти найбільше число,  яке  записуються  у вигляді  або  3 m, або 3m -1, або 3m - 2,  де  m − натуральне число.
12. Серед будь-яких  трьох натуральних чисел вигляду 3m  або  3m - 1, або 3m - 2   можна  два послідовні парні числа знайти числа,  які записуються  у вигляді  або 2m + 2, або 2m,  де  m − натуральне число.
13. Якщо число парне, тоді його попереднє і наступне непарні числа, які записується  у вигляді  або  9m,   або  9m-2, або  9m-4,  або  9m-6, або 9m-8,  де  m − натуральне число.
14. Якщо натуральне число ділиться на 3, тоді воно записується  у вигляді  або 3m - 1, або  3m - 2, де  m − натуральне число.
15. Якщо натуральні  числа записується  у вигляді  або  6m - 1, або  6n - 2, або 6p - 5, або  6k - 4,  або 6g - 3,  тоді серед них немає рівних чисел.
16. Якщо натуральні числа записуються у вигляді 5n - 4 і 3m - 1, тоді вони можуть бути рівними між собою і записуються або  6m+1, або  6m+2, або 6m+5, або  6m+4,  або 6m+3, де  m − натуральне число.
17. Якщо три натуральні числа записується  у вигляді  6m+1,   6m+2,  6m+3,  тоді  три наступні натуральні числа  відповідно  записуються  у такому порядку 6n+5,  6n+4,  6n+3, де  m, n − натуральні числа.
18. Якщо  натуральні числа записується  у вигляді  7m+1,  7m+2,  7m+3  тоді  три попередні натуральні числа  записуються у такому порядку 7k,  7k -1, 7k  -2, де  m, k − натуральні  числа.
19. Якщо натуральні числа записується  у вигляді  8m+8,  4m+4,  тоді   їхні попередні  числа  є непарними і  записуються  відповідно 8m - 7,  4m+3, де  m − натуральне число.
20. Якщо натуральні числа записується  у вигляді 2m+1,  4m+2,  тоді   вони  ніколи не можуть бути рівними,  де  m − натуральне число.

Множину задають двома основними способами:

1) переліченням всіх її елементів;

2) описанням характеристичної властивості її елементів. Наприклад: а) В = {o,,¡} - множина, задана переліченням елементів; б) X - множина коренів квадратного рівняння х² = 25. Множина X задана характеристичною властивістю елементів - бути коренем рівняння х*х = 25". Цю саму множину можна зада­ти і переліченням її елементів: X = {-5; 5}.

Дві множини називаються рівними, якщо вони складаються з тих самих елементів. Наприклад, множини коренів рівняння х2 = 25 і |x| = 5 рівні між собою. Справді, X = {-5; 5} і Y = {-5; 5}, де Y - множина розв'язків рівняння |x|= 5. Отже, X = Y.

Над множинами виконуються певні операції (дії). Зазначимо три з них.

Переріз множин.

Перерізом множин А і В називається множина С, яка складається з усіх тих і тільки тих елемен­тів, які належать коленій з даних множин А і В.

Приклад 1. Нехай А - множина всіх дільників числа 32, тобто А = {І, 2, 4, 8, 16, 32), а В - множина всіх дільників чис­ла 24, тобто В = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}. Тоді перерізом множин А і В є множина С = {1, 2, 4, 8}, яка складається зі спільних дільників чисел 32 і 24.

Схематично переріз множин А і В можна зобразити за допо­могою фігур. Символічно позначається так: С = А В і читається: "С є перерізом А і В".

Приклад 2. Нехай М - множина прямокутників, N - множина ромбів, тоді Р = М N - множина квадратів.

Об'єднання множин.

Об'єднанням (або сумою) двох мно­жин А і В називається така множина С, яка складається з усіх елементів множин А і В, і тільки з них.

Позначається це так: С = А В і читається: "С є об'єднанням А і В".

Якщо множини А і В мають спільні елементи, тобто А В 0, то кожний з цих спільних елементів береться в множину С тільки один раз.

Приклад 3. А ={1,2, 3,4}, В = {3, 4, 5, 6}, тоді С = {1,2,3,4,5,6}.

Приклад 4. Q - множина раціональних чисел(звичайних дробів), І - мно­жина ірраціональних чисел(дроби, в десятковому запису яких не спостерігається періодичності, тобто числа виду , …). Тоді множиною R всіх дійсних чисел буде об'єднання множин Q і І, тобто R = QІ.

Операції над множинами широко використовуються в мате­матиці та інших науках, а також у практиці. Наприклад, розв'яз­ками системи рівнянь є переріз множин розв'язків кожного рів­няння, а об'єднання їх є множиною розв'язків сукупності рів­нянь.

Віднімання множин. Доповнення множини.

Різницею двох множин А і В називається така множина С, яка складається з усіх елементів множини А, що не належать множині В.

Позначається це так: С = А \ В і читається: "С є різницею А і В".

Приклад 5. а) А= {5,6, 8, 12}, В= {5, 6}, тобто В А, тоді С = А \ В= {8, 12};

б) А = {5, 6, 8, 12}, В = {8, 12, 1, 2}, тоді С = А\ В = {5, 6};

в) А = {5, 6, 12}, В = {1, 2}, тоді С = А \ В = {5, 6, 12};

г) А= {5, 6}, В= {5,6, 12}, тобто В А, тоді С = А\ В = .

У випадку, коли А В, то різниця С = А \ В називається доповненням множини В відносно множини А і позначаєть­ся С=А\В.

Дуже важливими для практичних  задач є формули  підрахунку кількості різних елементів у декількох множинах, що містять спільні елементи, тобто кількості елементів в об’єдананні двох або трьох множин.

Кількість елементів об'єднання  п(АÈВ)  будь-яких двох скін­ченних множин А і В обчислюється за формулою:

п(АÈВ) = п(А) + п(В) - п(АÇВ).

Для будь-якої трійки скінченних множин А₁, А₂, А₃ має місце формула кількості елементів множини п(A₁ È А₂ ÈА₃) , що є об’єднанням трьох множин, тобто  A₁ È А₂ ÈА₃:

п(A₁ È А₂ ÈА₃) = п(А₁) + п(А₂) + п(А₃) - п(А₁ÇА₂) - п(А₁ ÇА₃) - п(А₂ ÇА₃) + п(А₁ÇА₂ ÇА₃).

Наводимо приклад використання поданих вище формул.

Задача 7. У лабораторії науково-дослідного інституту працює декілька чоловік, причому кожний з них знає хоча б одну іноземну мову, 6 чоловік знають англійську, 6 ‒ німецьку, 7 ‒ французьку, 4 знають англійську і німець­ку, 3 ‒ німецьку і французьку, 2 ‒французьку і англійсь­ку, один чоловік знає всі три мови. Скільки чоловік пра­цює в лабораторії? Скільки з них знає лише англійську мову? Скільки чоловік знає лише одну мову?

Розв'язання.

Позначимо п(А), п(Н), п(Ф) кількість співробітників у лабораторії, які знають англійську, німецьку та фран­цузьку  мови   відповідно,  а   п(НÇФ),  п(АÇН),  п(АÇФ), п(АÇНÇФ) ‒  кількість чоловік, що знають по дві і три мови відповідно. Тоді, за правилом суми, загальне число співробітників у лабораторії дорівнює

m = п(А)+ п(Н) + п(Ф) - п(НÇФ) - п(АÇН) - п(АÇФ) + п(АÇНÇФ)  = 6 + 6 + 7 - 3 - 4 - 2 + 1 = 11.

Тільки англійську та німецьку мови знають

п_АН = п(А ÇН) ‒ п(АÇН ÇФ) = 4-1= 3 чоловіка, тільки англійську і французьку

п_АФ = п(АÇФ) - п( АÇН ÇФ) = 2-1= 1 чоловік. Тоді тільки англійську мову знає

п_А = п(А) - п_АН  – п_АФ - п( АÇН ÇФ) =  6-3 -1-1 =1 чоловік. Тільки німецьку і французьку знають

п_НФ = п(Н ÇФ) - п(АÇНÇФ) = 3 ‒ 1 = 2 чоловіки. Тоді більше однієї мови знають

k = п(АÇНÇФ) + п_АН + п_АФ + п_НФ = 1 +3+1+2 =7 чоловік, її тільки одну мову  p = п - т = 11- 7 = 4 чоловіка.

Наводимо приклади задач використання поданих вище формул.

Задача 1. У групі зі 100 туристів 70 знають ан­глійську мову, 45 - французьку і 23 - знають обидві мови. Скільки туристів у групі не знають ні англійської, ні французької?

Задача 2. В одному з відділів магазину покупці зазвичай купляють або один торт, або коробку цу­керок. Одного дня було продано 57 тортів та 36 коробок цукерок. Скільки було покупців, якщо 12 з них придбали і торт, і коробку цукерок?

Задача 3. У спортивному таборі 65  дітей вміють грати в футбол, 70  — у волейбол і 75  — у баскетбол. Всьогодітей у табобі 100.  Яка найменша кількість дітей, які вміють грати і у футбол, і у баскетбол, і у волейбол?

Задача 4. Кожен учень класу на зимових кані­кулах відвідав театр двічі, при цьому спектаклі А, В та С бачили відповідно 25, 12 та 23 учні. Скільки учнів навчається у класі? Скільки з них відвідали спектаклі А та В, А та С, В та С?

Задача 5. На уроці літератури вчитель спробу­вав дізнатися, хто з 40 учнів класу читав книги А, В та С. Результати опитування виявилися такі: книгу А читали 25 учнів, книгу В - 22 учні, книгу С - також 22 учні. Книги А або В читали 33 учні, А або С - 32 учні, В або С - 31 учень; усі три книги прочитали 10 учнів. Скільки учнів прочитали одну книгу? Скільки учнів не прочитали жодної з трьох книг?

Задача 6. Опитування 100 студентів показало такі результати про кількість студентів, які вивчають іно­земні мови: англійську - 28; німецьку — 30; фран­цузьку - 42; англійську та німецьку - 8; англійську та французьку — 10; німецьку та французьку — 5; всі три мови - 3 студенти. Скільки студентів не вивчає жодної мови? Скільки студентів вивчає тільки французьку мову? Скільки студентів вивчає тільки німецьку мову? Скільки студентів вивчає тільки анг­лійську мову?

Задача 7. Протягом тижня в кінотеатрі демонст­рувалися фільми А, В та С. З 40 школярів, кожен з яких подивився або всі три фільми, або один з трьох, фільм А дивилися 13 учнів, фільм В – 16, фільм С – 19. Скільки учнів переглянули всі три фільми?

Задача 8. У класі з 40 учнів 30 уміють плавати, 27 уміють грати у шахи і тільки 5 не вміють ні того, ні іншого. Скільки учнів уміють плавати і грати у шахи?

Дуже важливу роль в комбінаторіці відіграє індуктивний метод обгрунтування правил-алгоритмів та формул.

Задача 8. Довести, що на площині n прямих, серед яких жодні три не перетинаються в одній точці, а жодні дві не паралельні, поділяють площину на 1 + 0,5n(n + 1) частин.

Доведення (методом математичної індукції):

1)Одна пряма ділить площину на 2 = 1+0,5 ∙ 1 ∙(1 +1)  частини, тобто твердження справджується для формули, якщо n = 1.

Можна за допомогою малюнків впевнитися, що формула вірна і для двох або для трьох прямих.

2)Припустимо, що n прямих ділять площину на 1 + 0,5n(n+1) час­тин. Нова (n + 1)-а пряма перетне наявні n прямих у n точках,
що поділять нову пряму на (n + 1) частин. Отже, з наявних
1 + 0,5n(n + 1) частин площини буде перетнуто і поділено новою
прямою (n+1). Таким чином, при проведенні цієї прямої кількість частин, на які поділяється площина, зросте на (n + 1) і
дорівнюватиме:

1 + 0,5n(n + 1) + (n + 1) = 1 + 0,5(n + 1)(n + 2).