Прості паліндромні числа

ІСТОРІЯ ПРОСТИХ ЧИСЕЛ

Поділ натуральних чисел на прості і складені приписують давньогрецькому математику Піфагору. І якщо слідувати Піфагору, то безліч натуральних чисел можна розбити на три класи:

{1} - множина, що складається з одного числа - одиниці;

{2, 3, 5, 7, 11, 13, ...} – множина простих чисел;

 {4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, ...} - множина складених чисел.

Багато різних загадок таїть друга множина – множина простих чисел.

Але спочатку, давайте розберемося, що таке є просте число. Відкриваємо «Математичний енциклопедичний словник» (Ю.В. Прохоров, видавництво «Радянська енциклопедія», 1988) і читаємо:

«Просте число - ціле додатне число, більше одиниці, що не має інших дільників, крім самого себе і одиниці:  2,3,5,7,11,13, ...»

 Поняття простого числа є основним при вивченні подільності натуральних чисел; саме, основна теорема арифметики стверджує, що будь-яке ціле додатне число, крім 1, єдиним чином розкладається в добуток простих чисел (порядок співмножників при цьому не береться до уваги). Простих чисел нескінченно багато (цей факт, названий теоремою Евкліда, був відомий ще давньогрецьким математикам, його доведення є ще в кн. 9 «Начал» Евкліда).

П. Діріхле (1837) встановив, що в арифметичній прогресії a + bx при х = 1., 2, ..., з з цілими взаємно простими а і b також міститься нескінченно багато простих чисел.

Для знаходження простих чисел від 1 до х служить відомий з 3 ст. до н.е. метод решета Ератосфена. Розгляд послідовності  простих чисел від 1 до х показує, що зі збільшенням х вона стає в середньому більш рідкісною. Існують як завгодно довгі відрізки ряду натуральних чисел, серед яких немає жодного простого числа . У той же час зустрічаються такі прості числа, різниця між якими дорівнює 2 (т.зв. близнюки). До сих пір (1987) невідомо, звичайно або нескінченно безліч таких близнюків. Таблиці простих чисел, що лежать в межах перших 11 мільйонів натуральних чисел, показують наявність достатньо  великих близнюків (наприклад, 10 006 427 і 10 006 429).

Завдання на дослідження.

Задача 1. 168 місць першої тисячі натуральних чисел займають прості числа. З них 16 чисел - паліндромні - кожне число, рівне числу записаному у зворотному напрямі: 11, 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929.  Доведіть , що серед чотирицифрових простих чисел немає паліндромних чисел.

 Задача 2. Доведіть , що серед багатоцифрових паліндромних чисел вигляду а)3ааа3, б)9ааа9, в)3аbb9bаb9bba3,  г)9cbc6cbc6cbc9, д)1аbc693cba1abc396cbа1, е)7а77а77а7, є)123456789bba39а93a93a39аbb987654321 ( де  а,b,c- це цифри десяткової системи числення) немає простих чисел.

Розв’язання.  Числа вигляду 3ааа3 і 9ааа9  не можуть бути простими, оскільки за ознакою подільності всі числа, у яких сума цифр ділиться на 3, самі діляться на 3.

3+а+а+а+3 = 6+3а= 3(2+а)

9+а+а+а+9 = 18+3а =3(6+а)

Видно, що сума цифр чисел 3ааа3 і 9ааа9  ділиться на 3, отже ці числа самі теж діляться на 3.

Що стосується чисел вигляду 7ааа7, то серед них простими є числа 72227, 75557, 76667, 78887, 79997.