Таблиця Вінницького. СТЕПЕНЕВІ ЛИШКИ ПРИ ДІЛЕННІ НА 100

Таблиця Вінницького 

довжини двоцифрових періодів степенів цифр.

(СТЕПЕНЕВІ ЛИШКИ ПРИ ДІЛЕННІ НА 100)

  mⁿ º ab(mod 100).

  Нехай 2ⁿ º ab(mod 100),  тоді 
ab ={02, 04, 08, 16, 32, 64,  28, 56, 12,  24, 48,  96, 92, 84, 68, 36, 72, 44, 88, 76, 52}.

Основа	2	3	4	5	6	7	8	9
Довжина  двоцифрового періоду  ….аb	20(поч. з 04)	20	10	1	6	4	20	10
Довжина  одноцифрового періоду  ….аb	4	4	2	1	1	4	4	2
Критерій парності двох цифр лишку	k & 2n	2k & 2n+1	k & 2n	2k & 2n+1	2k+1&2n	2k & 2n+1	k & 2n	2k & 2n+1
m1	02	03	04	05	06	07	08	09
m2	04	09	16	25	36	49	64	81
m3	08	27	64	25	16	43	12	29
m4	16	81	56	25	96	01	96	61
m5	32	43	24	25	76	07	68	49
m6	64	29	96	25	56	49	44	41
m7	28	87	84	25	36	43	52	69
m8	56	61	36	25	16	01	16	21
m9	12	83	44	25	96	07	28	89
m10	24	49	76	25	76	49	24	01
m11	48	47	04	25	56	43	92	09
m12	96	41	16	25	36	01	36	81
m13	92	23	64	25	16	07	88	29
m14	84	69	56	25	96	49	04	61
m15	68	07	24	25	76	43	32	49
m16	36	21	96	25	56	01	56	41
m17	72	63	84	25	36	07	48	69
m18	44	89	36	25	16	49	84	21
m19	88	67	44	25	96	43	72	89
m20	76	01	76	25	76	01	76	01
m21	52	03	04	25	56	07	08	09

Отже, можливі тільки такі степеневі двоцифрові лишки  для степенів цифр: 00, 01,  02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 12,16, 21,23, 24, 25, 27, 28, 29, 32, 36, 41, 43, 44, 47, 48, 49, 52,56, 61, 63, 64, 67, 68, 69, 72,76, 81,83,  84, 88, 89, 92, 96.

Задачі для самостійного осмислення

1. Довести, що рівняння з довільними натуральними показниками

   x^m º yⁿ º…º z^k (mod p)

має розв’язки в цілих числах  (x;y;z), де всі числа однакової парності.

2. Розв’язати рівняння в цифрах:

1) x^20m º y^20m º z^20m º 76(mod 100)

Відповіді: (2;4;8), (2;4;8), (4;2;8), (4;8;2), (8;2;4), (8;4;2).

2) x^20m º y^20m º z^20m º 1(mod 100)

Відповіді: (3;7;9), (3;9;7), (7;3;9), (7;9;3), (9;3;7), (9;7;3).

3) z^10m º 1(mod 100)

Відповіді: z = 9

4) m¹³ º m(mod 10)

Відповіді: m ={0; 1;2;3;4;5;6;7;8;9}

5) m⁵ º m(mod 10)

Відповіді: m ={0; 1;2;3;4;5;6;7;8;9}

6) m¹⁷º m(mod 10)

Відповіді: m ={0; 1;2;3;4;5;6;7;8;9}

7) m⁹º m(mod 10)

Відповіді: m ={0; 1;2;3;4;5;6;7;8;9}

8) m⁴ⁿ⁺¹º m(mod 10)

Відповіді: m ={0; 1;2;3;4;5;6;7;8;9}

9) m⁴ⁿ⁺²º m²(mod 10)

Відповіді: m ={0; 1;2;3;4;5;6;7;8;9}

10) m⁴ⁿ⁺³º m³(mod 10)

Відповіді: m ={0; 1;2;3;4;5;6;7;8;9}

10) m⁴⁽ⁿ⁺¹⁾º m⁴(mod 10)

Відповіді: m ={0; 1;2;3;4;5;6;7;8;9}

Інваріанти  для степенів натуральних чисел

Виконуються такі інваріантні властивості:

                           (2m+1)ⁿ = 100n + 10a + b, де а – парна цифра, b – непарна цифра.

Для довільного натурального степеня, більшого 1, непарного числа 2m+1, цифра десятків завжди парна, а цифра одиниць непарна, тобто:

 (2m+1)ⁿ º([2n]&[2k+1])(mod 100).

Для  натурального степеня, більшого 1,  цілого числа виконуються такі властивості:

4k+1=(4m+1)ⁿ ; 

Степінь парного числа кратна 4:   4k=(4m+2)ⁿ ;   16q=(4m)ⁿ;

Парна степінь трійки при діленні на 4 має остачу 1: 4k+1=3²ⁿ ;

Непарна степінь трійки при діленні на 4 має остачу 3: 4k+3=3^{2n -1};

Парна степінь сімки при діленні на 4 має остачу 1:  4k+1=7²ⁿ ;

Непарна степінь сімки при діленні на 4 має остачу 3: 4k+3=7^2n-1.

Для довільного степеня парного числа 2m, цифра десятків і цифра одиниць утворюють число, яке завжди ділиться на 4 націло, тобто:

4k=(2m)ⁿ .

б) для довільного чотирикратного степеня парного числа 2, цифра десятків завжди непарна, а цифра одиниць рівна 6, тобто:

(2)⁴ⁿ = 100n + 10a + b,  де а – непарна цифра, b = 6.

(2)⁴ⁿ º ([2k+1]&[6])(mod 100).

А для довільного 4n+2-кратного степеня цифр 2 та 8, цифра десятків завжди  парна, а цифра одиниць рівна 4, тобто:

(2)⁴ⁿ⁺² = 100n + 10a + b,  де а – парна цифра, b = 4.

(2)⁴ⁿ⁺² º ([2k]&[4])(mod 100).

в)  не існує такого степеня непарного числа, результат якого  мав би непарну цифру в розряді  десятків. Не існує такого степеня,  більшого 2, який можна подати у вигляді  4m±2

г) для довільного степеня числа 7, результат  має тільки дві цифри десятків 0 або 4.

д) для довільного показника степеня, більшого 1,  з основою 5  результат  має тільки такі дві останні цифри 25, при цьому цифра в розряді сотень завжди парна.

є) для довільного степеня, більшого 1,  з основою 6   результат  має непарну цифру в розряді десятків і  цифри 6 в розряді одиниць.

е)для степеня числа, результат  може містити тільки такі дві останні рівні цифри 00,44, 88.

ж) можливі тільки такі  останні дві цифри  для степенів натуральних чисел: 00, 01,  02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 12,16, 21,23, 24, 25, 27, 28, 29, 32, 36, 41, 43, 44, 47, 48, 49, 52,56, 61, 63, 64, 67, 68, 69, 72,76, 81,83,  84, 88, 89, 92, 96.

з) рівняння з довільними натуральними показниками та парним  модулем

x^m º yⁿ º…º z^k (mod 2р)

має розв’язки в цілих числах  (x;y;…,z), де всі числа, що входять до розв’язку однакової парності.

Число  аⁿ ± 1 складене, якщо число n можна розкласти на прості множники.