Розв’язати
рівняння:
a)3z-2z=5;
якщо z – натуральне
число;
б)
х z - у z=р; якщо x, у, z – дійсні додатні числа; р – просте число;
в) f z(х)- g z(y)
= yx, якщо f:R+® R+, g:R+® R+, x, у, z – дійсні додатні числа.
Розв’язання.
а) 3z-2z=5 -
це показникове
рівняння. Розглянемо
ліву частину як різницю квадратів і розкладемо її на множники:
(30,5z)2- (20,5z)2=(30,5z - 20,5z )(
30,5z + 20,5z)
Праву
частину рівняння можна записати: 5=1*5=5*1.
Ліва
і права частини рівняння належать множині натуральних чисел. Тому
отримаємо
дві системи показникових рівнянь:
1) 30,5z - 20,5z =5, 30,5z + 20,5z =1; 2) 30,5z - 20,5z =1, 30,5z + 20,5z =5;
Використаємо
спосіб додавання для розв’язування систем рівнянь.
1)
Якщо додати два рівняння у системі 1), тоді
2*30,5z=6; обидві
частини поділимо на 2.
30,5z=3, обидві частини піднесемо до степені 2.
3z =9; 3z =32; отже z=2.
2)
Якщо відняти два рівняння у системі 2), тоді
-2*20,5z=-4; обидві
частини поділимо на -2.
20,5z=2; обидві
частини піднесемо до степені 2.
2z =4; 2z =22;
отже z=2.
Перевірка:
32 -22 = 5.
Відповідь:
z=2.
б) х z - у z = р - це
показникове-степеневе рівняння. Розглянемо
ліву частину як різницю квадратів і розкладемо її на множники:
(х0,5z)2- (у0,5z)2=(х0,5z - у0,5z )(
х0,5z + у0,5z)
Праву
частину рівняння можна записати: р=1*р=р*1.
Ліва
і права частини рівняння належать множині натуральних чисел. Тому
отримаємо
дві системи показникових рівнянь:
1) х0,5z - у0,5z =р, х0,5z + у0,5z =1; 2) х0,5z - у0,5z =1, х0,5z + у0,5z =р;
Використаємо
спосіб додавання для розв’язування систем рівнянь.
1)
Якщо додати два рівняння у системі 1), тоді
2*x0,5z=р+1; обидві частини поділимо на 2.
x0,5z=0,5(р+1), обидві частини піднесемо до степені 2.
xz =0,25(р+1)2; обидві частини рівняння логарифмуємо за
основою x;
z=logx(0,25(р+1)2);
xz =0,25(р+1)2; обидві частини рівняння піднесемо до степені 1/z = z-1.
xz*(1/z) =(0,25(р+1)2)*(1/z); отже x =(0,25(р+1)2)*(1/z) .
2)
Якщо відняти два рівняння у системі 2), тоді
-2*y0,5z=1-р; обидві
частини поділимо на -2.
y0,5z=0,5(р-1), обидві
частини піднесемо до степені 2.
yz =0,25(р-1)2;
обидві частини логарифмуємо за основою e;
z=logy(0,25(р-1)2);
уz =0,25(р-1)2; обидві частини рівняння піднесемо до степені 1/z = z-1.
уz*(1/z) =(0,25(р-1) 2)*(1/z); отже у =(0,25(р-1)2)*(1/z) .
Перевірка: (0,25(р+1)2)*(1/z)* z - (0,25(р-1)2)*(1/z)* z = p
Відповідь:
x =(0,25(р+1)2)*(1/z) ; у =(0,25(р-1)2)*(1/z) , z – дійсні додатні числа;
d) f z (x) - g z (y)= xy - це
показникове-степеневе функціональне рівняння.
Розглянемо ліву частину як різницю квадратів і
розкладемо її на множники:
(f(х)0,5z)2- (g(у)0,5z)2=(f(х)0,5z – g(у)0,5z )(f(х)0,5z + g(у)0,5z)
Праву
частину рівняння можна записати: xy=y*x=xy*1.
Ліва
і права частини рівняння належать множині натуральних чисел. Тому
отримаємо
дві системи показникових рівнянь:
1) f(х)0,5z - g(у)0,5z =x, f(х)0,5z + g(у)0,5z =y;
2) f(х)0,5z - g(у)0,5z =1, f(х)0,5z + g(у)0,5z =xy;
Використаємо
спосіб додавання для розв’язування систем рівнянь.
1)
Якщо додати два рівняння у системі 1), тоді
2* f(х)0,5z=xy+1; обидві частини поділимо на 2.
f(х)0,5z=0,5(xy+1), обидві частини піднесемо до степені 2.
f(х)z =0,25(xy+1)2; обидві частини рівняння логарифмуємо за
основою f(х);
z=log f(х) (0,25(xy+1)2);
f(х)z =0,25(xy+1)2; обидві частини рівняння піднесемо до степені 1/z = z-1.
f(х)z*(1/z) =(0,25(xy+1)2)*(1/z); отже x =(0,25(xy+1)2)*(1/z) .
2)
Якщо відняти два рівняння у системі 2), тоді
-2* g(у)0,5z=1-xy; обидві частини поділимо на -2.
g(у)0,5z=0,5(xy-1), обидві частини піднесемо до степені 2.
g(у)z =0,25(xy-1)2; обидві частини логарифмуємо за основою e;
z=logy(0,25(xy-1)2);
g(у)z =0,25(xy-1)2; обидві частини рівняння піднесемо до степені 1/z = z-1.
g(у)z*(1/z) =(0,25(xy-1) 2)*(1/z); отже g(у) =(0,25(xy-1)2)*(1/z) .
Перевірка: (0,25(xy+1)2)*(1/z)* z - (0,25(xy-1)2)*(1/z)* z = xy
Відповідь:
f(х)=(0,25(xy+1)2)*(1/z) ; g(у) =(0,25(xy-1)2)*(1/z) , z –
дійсні додатні числа;
Немає коментарів:
Дописати коментар