ПЕРІОДИЧНІ ДЕСЯТКОВІ ДРОБИ.

ПЕРІОДИЧНІ ДЕСЯТКОВІ ДРОБИ.

Уважно прогляньте такі запитання та відповіді на них.  Наведіть власні приклади десяткових дробів на кожне запитання.

Запитання: Чи вірно, що якщо знаменник дробу містить тільки дев’ятки, то маємо періодичний дріб?

 Відповідь: так. Прогляньте приклади.

Приклади періодичних десяткових дробів.

0,5555…. = 0,(5) = 5:9 = 5/9; 

0,3333…. = 0,(3) = 1:3 = 3/9 = 1/3; 

0,6666…. = 0,(6) = 2: 3 = 6/9 = 2/3;

0,142857142857142857…. = 0,(142857) = 1:7 = 1/7 = 142857 / 999999;                    

0,4545454545… = 0,(45) = 5:11 = 45/99 = 5:11 = 5/11;

0,615384615384615384… = 0,(615384) = 8:13 = 8/13 = 615384 / 999999.

Запитання: Чи вірно, що якщо знаменник дробу містить тільки 10, 100, 1000, і так далі…, то маємо скінчені дроби?

Відповідь: так. Прогляньте приклади.

Приклади скінчених десяткових дробів:

0, 5 = 1:2 =1/2 = 5/10;

0, 25 = 1:4 =1/4 = 25/100;

0, 3 = 3:10 = 3/10;

0,125 = 1:8 = 1/8 = 125/1000;

0,05 = 1:20 = 1/20 = 5/100.

Запитання: Чи вірно, що існують нескінчені неперіодичні дроби?

Відповідь: так. Прогляньте приклади.

Приклади нескінчених неперіодичних десяткових дробів:

3,1415926535897932384626433832795… = π (трансцендентне число, відношення довжини кола до дов­жини його діаметра);

2,71828182… = е (трансцендентне  число Ейлера, значення виразу  (1+1/к)^к, якщо к → ∞);

1,4142135623730950488016887242097… = 2^0,5 (ірраціональне число,  довжина діагоналі одиничного квадрата).

Запитання: Як розпізнати скінчені  та нескінчені десяткові дроби?

Відповідь: Будь-яке раціональне число можна записати у вигляді звичайного дробу

a/b = a:b,

тобто, записати, як результат дії ділення. Зазначимо,  що

b є N, (тобто, b ≠ 0, натуральні числа),

а є Z (цілі числа, тобто, від’ємні числа, додатні числа і нуль).

Запитання: Чи завжди в результаті ділення двох скінчених десяткових дробів ми отримаємо скінчені  десяткові дроби?

Відповідь: Не завжди в результаті ділення одного десяткового дробу на другий дістаємо скінченний десятковий дріб.  Шуканою часткою може бути і нескінченний десятковий дріб.

Запитання: Як розпізнати скінчені  та нескінчені десяткові дроби?

 Нескінченні десяткові дроби бувають: періодичні і неперіодичні.

Відповідь: Наприклад, якщо ділити 3 на 11, у частці дістанемо нескінченний десятко­вий дріб 0,272727..., у якому цифри 2 і 7 періодично пов­торюються. Це – нескінченний періодичний десятковий дріб із періодом 27.

Але відношення довжини кола до дов­жини його діаметра виражається нескінченним неперіо­дичним десятковим дробом 3,14159... .

Запитання: Які бувають періодичні дроби?

Відповідь: Періодичні дроби бувають чисті і мішані.

Чистим періодичним дробом називається такий, у якого період починається відразу після коми, наприклад чистий періодичний дріб:

12,363636...

Мішаним періодичним дробом називається  такий, у якого між комою і першим періодом є одна або кілька цифр, що не повторюються, наприклад мішаний періодичний дріб:

0,07464646...

Записувати періодичні десяткові дроби прий­нято скорочено:

замість 3,2666... пишуть 3,2(6),

замість 0,424242... пишуть 0, (42), тобто «період 42 записують у дужках.

Запитання: Як розпізнати скінчені дроби?

Відповідь: Звичайний нескоротний дріб можна подати у вигляді скінченного десяткового дробу тоді і лише тоді, коли в роз­кладі на прості множники його знаменника немає інших множників, крім 2 і 5.

Запитання: Чи завжди нескоротний звичайний дріб  є  періодичним?

Відповідь: Якщо звичайний нескоротний дріб перетворюється в не­скінченний десятковий дріб,  то останній обов'язково періо­дичний.

Запитання: Як розпізнати чисті та мішані періодичні дроби?

Відповідь: Якщо у знаменнику дробу немає множ­ників 2 і 5, то він чистий періодичний,

якщо ж знаменник має множники 2 або 5 та інші числа, тоді дріб мішаний періодичний.

Приклади. Дріб 5/33 до перетворюється в чистий   періо­дичний десятковий, бо 33 не ділиться ні на 2, ні на 5. Дріб 11/12 перетворюється у мішаний   періодичний   десятко­вий дріб, бо знаменник 12 ділиться на 2.

Справді,

5/33  = 5:33 = 0,15151515… = 0,(15);

11/12 = 11: 12 = 0,91666666… =  0,91(6).

Запитання: Як можна перетворювати чисті періодичні десяткові дроби в звичайні дроби?

Відповідь: Щоб перетворити чистий періодичний дріб у звичайний, досить записати чисельником його період, а знаменником – число, позначене стількома дев'ятками, скільки цифр у періоді.

Приклади.

0,(8) = 8/9;

0,(84) = 84/99;

0,(876) = 876/999;

0,(8456) = 8456/9999;

15,(37)= 15 + 37/99

12,(352)= 12 + 352/999.

Запитання: Як можна перетворювати мішані періодичні десяткові дроби в звичайні дроби?

Відповідь:  Щоб перетворити мішаний періодичний дріб у звичай­ний, досить від числа, що стоїть до другого періоду, від­няти число, що стоїть між комою і першим періодом, і здо­буту різницю взяти чисельником, а знаменником написати число, позначене стількома дев'ятками, скільки цифр у пе­ріоді, і зі стількома нулями на кінці, скільки цифр між комою і періодом.

Приклади. 

 0,8(57) = (857 – 8) / 990 =  849 / 990

 6,7(4) = 6 + (74 – 7)/90 = 6 + 67/90.