Теорема про остачі
Відмітимо спочатку,
що для будь-яких натуральних чисел а і b послідовності а, а2, а3, а4, ..., аn, ... остачі від ділення цих чисел на b будуть періодично повторюватись, починаючи з
деякого місця. Адже за принципом Діріхле в нескінченній послідовності остач,
які дають числа аn
при діленні на b, обов'язково знайдуться
дві однакові остачі. А якщо аk та as дають однакові остачі, то однаковими будуть остачі
чисел аk+1 та аs+1, аk+2 та аs+2 і т.д. І якщо ми знайдемо закон періодичності остач в
послідовності а, а2, а3,
а4, ..., аn, ... , то легко зможемо вказати остачу для
будь-якого числа аn.
Якщо остача від
ділення числа а на b дорівнює с, то остача від ділення числа аn на b дорівнює остачі від ділення числа сn на b.
Приклад 1. 13 : 5 = 2 (ост. 3), тоді 13n :5 дає таку
саму остачу, як і 3n: 5.
Розв'язання.
1) n = 2, 132:5 = 169:5
= 33 (ост. 4) і 32:5 = 9:5 =
1 (ост. 4);
2) n = 3, 133:5 =
2197:5 = 439 (ост. 2) і 33:5 = 27:5 = 5 (ост. 2);
3) n = 4, 134:5 = 28
561:5 = 5712 (ост. 1) і 34:5 = 81:5 = 16(ост. 1);
4) n = 5, 135:5 = 371
293:5 = 74 258 (ост. 3) і 35:5 = 243:5 = 48 (ост. 3).
Приклад 2. Знайти остачу від ділення числа 2222n на 7.
Розв'язання.
1) Знайдемо
остачу від ділення 2222 на 7: 2222 : 7 =
317 (ост. 3).
2) Остача
від ділення 2222n на 7 така сама, як остача від ділення 34
на 7, тобто 4, бо
34:7 = 81:7 = 11 (ост.
4).
Відповідь. 4.
Задача 1. Знайти остачу від ділення числа 22225555 на 7.
Розв'язання.
1) Знайдемо остачу від ділення
2222 на 7: 2222 : 7 = 317 (ост. 3).
Остача від ділення 22225555 на 7
така сама, як остача від ділення 35555 на 7.
Знайдемо остачі від ділення 3n на
7 для різних значень n:
n=1, 31:7 = 3:7 = 0
(ост. 3);
n = 2, 32:7 = 9:7 = 1
(ост. 2);
n = 3, 33:7 = 27:7 = 3
(ост. 6);
n = 4, 34:7 = 81:7 = 11
(ост. 4);
n = 5, 35:7 = 243:7 =
34 (ост. 5);
n = 6, 36:7 = 729:7 =
104 (ост. 1);
n = 7, 37:7 = 2187:7 = 312 (ост.
3).
Цикл дорівнює 6.
4) Знайдемо
кількість повних циклів у числі 5555.
5555 : 6 = 925 (ост. 5).
925 повних циклів відкидаємо.
Отже, остача відділення 35555
на 7 така сама, як від ділення 35 на 7, тобто 5.
Отже, і остача від ділення 22225555
на 7 дорівнює 5.
Відповідь. 5.
Задача 2. Знайти остачу від ділення числа 55552222 на 7.
Розв'язання.
1) Знайдемо остачу від ділення
5555 на 7:
5555 : 7 = 793 (ост. 4).
Остача від ділення 55552222
на 7 така сама, як остача від ділення 42222 на 7.
Знайдемо остачі від ділення 4n на 7 для різних значень n:
n = 1, 41:7 = 4:7 = 0
(ост. 4);
n = 2, 42:7 = 16:7 = 2
(ост. 2);
n = 3, 43:7 = 64:7 = 9
(ост.1);
n = 4, 44:7 = 256:7 =
36 (ост. 4).
Цикл дорівнює 3.
2) Знайдемо
кількість повних циклів у числі 2222.
2222 : 3 = 740 (ост. 2).
740 повних циклів відкидаємо.
Отже, остача від ділення 42222
на 7 така сама, як і від ділення 42 на 7, тобто 2.
Отже, і остача відділення 55552222
на 7 дорівнює 2.
Відповідь. 2.
Задача 3. Довести, що (22225555+55552222)
ділиться на 7 без остачі.
Доведення.
Оскільки 22225555 при
діленні на 7 дає остачу 5, а 55552222 при діленні на 7 дає остачу
2, а сума цих остач 5+2 = 7 ділиться на 7, то (22225555 +55552222)
ділиться на 7 без остачі, що і треба було довести.
Задача 4. Знайти остачу від ділення числа 7 2003 на 10.
Розв'язання.
1) Знайдемо остачу від ділення 7
на 10: 7: 10 = 0 (ост. 7).
2)Знайдемо остачі від ділення 7n на 10 для різних значень n:
n = 1, 71:10 = 7:10 = 0
(ост. 7);
n = 2, 72:10 = 49:10 =
4 (ост. 9);
n = 3, 73:10 = 343:10 =
34 (ост. 3);
n = 4, 74:10 = 2401:10
= 240(ост. 1);
n = 5, 75 : 10 = 16
807:10 = 1680 (ост. 7).
Цикл дорівнює 4.
3)Знайдемо кількість повних циклів
у числі 2003.
2003 : 4 = 500 (ост. 3).
4)500 повних циклів відкидаємо.
Отже, остача від ділення 72003 на 10 така сама, як остача від
ділення 73 на 10 , тобто 3.
Відповідь. 3.
5. Якою цифрою закінчується число 72003 ?
Розв'язання.
Остача відділення числа 72003
на 10 є останньою цифрою цього числа. Тобто число 72003 закінчується
цифрою 3.
Відповідь. 3.
Самостійно виконайте
дві наступні вправи.
6.Знайти остачу від ділення числа 20062007 на 3.
7. Якою цифрою закінчується 192008 ?
Немає коментарів:
Дописати коментар