Задача Вінницького

1. (10 клас).Розв’язати систему рівнянь в значущих цифрах (a; b; c; x; y):

 100a+10b+c=a^x;

 100a+10b+c=y^y;

 100c+10a+b=b^y;

Відповідь: (a; b; c; x; y)= (2; 5; 6; 8; 4).

2. (9 клас). Доведіть, що рівняння  

k = g*p*q,      де  k, g, p, q - цілі числа  

має розв’язок (k, g, p, q), для якого виконуються умови:

1)k + g + p + q = 0, 
2) k² + g² + p² + q² не дорівнює нулю 0!

Доведення. Скористаємося властивістю 1 та -1 при множенні цілих чисел. Розглянемо три випадки:

1) Якщо k - від’ємне число, то k=-1*1*|k|.

Тобто, g=-1, p=1, q=- k.

Тому розв’язок: (k, g, p, q)=( k,-1, 1, -k).

Перевіримо, що обидві умови задачі на знайдений  розв’язок виконуються, а саме:  

k-1+1-k =0,

але k²+1²+1²+k² =2(1+ k²)  не дорівнює нулю 0!

2)Якщо k - додатне число, то k=-1*1*(-k).

Тобто, g=-1, p=1, q=- k.

Тому розв’язок: (k, g, p, q)=( k,-1, 1, -k).

Перевіримо, що обидві умови задачі на знайдений  розв’язок виконуються, а саме:  

k-1+1-k =0, але k²+1²+1²+k² =2(1+ k²)  - не дорівнює нулю 0!

3) Якщо k =0, то k=0=(1)*0*(-1).

Тобто, g=1, p=0, q=-1.

Тому розв’язок: (k, g, p, q)=( 0, 1, 0, -1).

Обидві умови задачі виконуються:  

0+ 1+0 -1 =0, але 0²+1²+1²+0² =2 - не дорівнює нулю 0!

Тому (k, g, p, q) = ( 0, 1, 0, -1).

Що і треба було довести.