Метод математичної індукції

"Людина, котра знехтувала добром інших,

зневажила його у собі" 

Григір Тютюнник.

Теоретичні відомості

При розв'язуванні математичних задач іноді використовують метод математичної індукції.

 Принцип міркувань за індуктивним методом можна викласти в трьох пунктах.

Нехай існує послідовність тверджень Т₁, Т₂, Т₃ , Т₄, … причому:

1) Безпосередньою перевіркою впевнюються, що твердження Т₁, Т₂, Т₃, Т₄, …, Тк істинні;

2) Припускається, що деяке твердження Т_к істинне, тоді на основі  цього припущення  доводиться, що наступне твердження Т_к+1 також істинне.

3) Тоді стверджується, що всі твердження цієї послідовності істинні.

Такий спосіб міркувань називають методом математичної індукції. При цьому, доведення істинності твердження Т₁, Т₂, Т₃, Т₄, …, Тк, називають базою індукції, а доведення того, що з істинності твердження  Т_к випливає істинність твердження Т_к+1, називають індукційним кроком.

Метод математичної індукції можна застосовувати не тільки для доведення, але і для означення послідовностей. Якщо ми означимо перший член послідовності, і, припустивши; що к-ий член вже означений, за допомогою нього означимо (к+1)-ий, то згідно принципу математичної індукції, вся послідовність буде означеною. Такий спосіб утворення послідовності називають рекурентним.

Існують й інші форми принципу математичної індукції. Іноді зручно починати індукцію не з доведення істинності Т₁, а з доведення істинності деякого Т_к. Принцип індукції    еквівалентний    такій    аксіомі:    в    довільній непустій множині натуральних чисел є найменше.

Вироблення умінь та навичок використовувати метод математичної індукції:

Задачі на подільність чисел

 1.      Довести, що при довільному натуральному  к  число  к³ + 3к² + 5к ділиться на 3.

2. Довести, що при довільному натуральному  к  число  к³ +5к ділиться на 6.
3. Довести, що при довільному натуральному  к  число  к² + к парне.
4. Довести, що при довільному натуральному  к  число  к³ - к ділиться на 6.
5. Довести, що при довільному натуральному  к  число  к⁵ - к ділиться на 30.
6. Довести, що при довільному натуральному  к  число  к⁷ - к ділиться на 7.
7. Довести, що при довільному натуральному  к  число  к³ +11к ділиться на 6.
8. Довести, що при довільному натуральному  к  число  4^к+15к-1 ділиться на 9
9. Довести, що при довільному натуральному  к  число  7^к - 1 ділиться на 6.
10. Довести, що при довільному натуральному  к  число  10^к- 4^к+3к ділиться на 9.
11. Довести, що при довільному натуральному  к  число  2^2к - 1 ділиться на 3.
12. Довести, що при довільному натуральному  к  число  2^2к+1+1 ділиться на 3.
13. Довести, що при довільному натуральному  к  число  5^к+3+11^3к+1 ділиться на 17.
14. Довести, що при довільному натуральному  к  число  2к³+3к²+7к ділиться на 6.
15. Довести, що при довільному натуральному  к  число  к⁶ – к² ділиться на 60.
16. Довести, що при довільному натуральному  к  число  11^6к+3+1 ділиться на 148.
17. Довести, що при довільному натуральному  к  число  10^к+18к -28 ділиться на 27.
18. Довести, що при довільному натуральному  к  число  10^к+18к -28 ділиться на 27.
19. Довести, що при довільному натуральному  к  число  11^к+2+12^2к+1 ділиться на 133.
20. Довести, що при довільному натуральному  к  число  7^2к- 4^2к ділиться на 33.
21. Довести, що при довільному натуральному  к  число  6^{2 к}+ 19^к - 2^к+1 ділиться на 17.
22. Довести, що при довільному натуральному  к  число 7∙ 5^2к+12∙6^к  ділиться на 19.
23. Довести, що при довільному натуральному  к  число 9^к+1-18к-9  ділиться на 18.
24. Довести, що при довільному натуральному  к  число 2^к∙ 5^к+3-125  ділиться на 45.
25. Довести, що при довільному натуральному  к  число 7^2к-1  ділиться на 48.
26. Довести, що при довільному натуральному  к  число 6^2к+3^к+2+3^к  ділиться на 11.
27. Довести, що при довільному натуральному  к  число 5^2к+1+3^к+2∙2^к-1  ділиться на 19.
28. Довести, що при довільному натуральному  к  число к³+(к+1)³+(к+2)³ ділиться на 9.
29. Довести, що довільне натуральне m>8 можна подати у вигляді m = 3к+5n , де к і n  - натуральні числа.

                                    Задачі на знаходження сум степенів натуральних чисел.

Довести, що при довільному натуральному  к  виконується :

1. 2+4+6+..+ 2к = к(к+1)   (сума перших парних натуральних чисел);
2. 1+3+5+..+ 2к -1 = к²   (сума перших непарних натуральних чисел);
3. 1+2+3+4+..+ к = ?  (сума перших парних натуральних чисел);
4. 1²+2²+3²+4²+..+ к² = ? (сума квадратів перших натуральних чисел);
5. 1∙2 + 3∙2 + 3∙4 + 4∙5 + 5∙6 + … + к(к+1) = ?;
6. 1³+2³+3³+4³+..+ к³ =  ?(сума кубів перших натуральних чисел);
7. 1⁴+2⁴+3⁴+4⁴+..+ к⁴ = ? (сума четвертих степенів перших к чисел);
8. 1⁵+2⁵+3⁵+4⁵+..+ к⁵ =  ?(сума п’ятих степенів перших к чисел);
9. 1⁶+2⁶+3⁶+4⁶+..+ к⁶ =  ?(сума шостих степенів перших к чисел)
10. 1⁷+2⁷+3⁷+4⁷+..+ к⁷ = ? (сума сьомих степенів перших к чисел);
11. 1⁸+2⁸+3⁸+4⁸+..+ к⁸ =  ?(сума восьмих степенів перших к чисел);
12. 1⁹+2⁹+3⁹+4⁹+..+к⁹ =  ?(сума дев’ятих степенів перших к чисел);
13. 1¹⁰+2¹⁰+3¹⁰+4¹⁰+..+ к¹⁰ =?  (сума десятих степенів перших к чисел);
14. 1¹¹+2¹¹+3¹¹+4¹¹+..+ к¹¹ =?  (сума одинадцятих степенів перших к чисел);
15. 1¹²+2¹²+3¹²+4¹²+..+ к¹² =  ?(сума дванадцятих степенів перших к чисел).
16. 2+7+14+..+(к²+2к-1) = к(2к²+9к+1): 6 .

        Нерівності, що доводяться методом математичної індукції

1. Довести, що при  та при довільному натуральному к  виконується .
2. Знайти всі такі натуральні к, для яких справедлива нерівність 3k 2(k+1)².
3. Довести, що при довільному натуральному к  виконується 2^k+2>2k+5.
4. Довести, що при довільному натуральному к  виконується 2^k >k+1.
5. Знайти всі такі натуральні к, для яких справедлива нерівність 5^k >5k³+2.
6. Довести, що середнє арифметичне k – степенів додатних чисел не менше    k – степеня середнього арифметичного величин   .
7. Довести, що при  та при довільному натуральному к  виконується .