Показникові діофантові рівняння

Виконайте математичне дослідження

1.      Розв’язати діофантове  рівняння     k^p  = n^m, де k, p, n, m,   - цифри десяткової системи, окрім нуля та одиниці та тривіального розв’язку з усіма однаковими цифрами (n, n, n, n). Розв’язок записати як четвірку: (k, p, n, m). 

Наприклад: Тривіальні рівності НА множині цифр десяткової ситеми:

  р^p  = р^р ,  1^p  = 1^р , 1^т  = 1^р , 0^т  = 0^р , (n^m)^k  = (n^k)ⁿ  ,   n¹  = n¹

729=3⁶=9³,  (3, 6, 9, 3). 

64=2⁶=4³,  (2, 6, 4, 3). 

16 =2⁴=4²,  (2, 4, 4, 2). 

256=2⁸ =4⁴,  (2, 4, 4, 4). 

6561=3⁸=9⁴,  (3, 8,  9, 4). 

81=3⁴=9²,  (3, 4, 9, 2).       

 - унікальна рівність в натуральних числах! Узагальнимо її на всі натуральні числа.

2.      

Означення. Функція з трьома  змінними V(k; m; n) =  Т_n(k^m)  на множині натуральних чисел приймає значення кількості  n-цифрових  розв’язків  діофантового рівняння

k^m ºy(mod 10ⁿ), де k,  n, m,   - натуральні числа,   y – невідоме натуральне число.

Приклад 1.

A) V(1; m; 1) =  Т₁(1^m)  =1, адже діофантове рівняння 1^m ºy(mod 10¹), має один одноцифровий розв’язок, у=1.

б) V(11; m; 1) =  Т₁(11^m)  =1=2⁰*5⁰=10⁰, бо діофантове рівняння 11^mºy(mod 10¹), має один одноцифровий розв’язок, у=1.

в) V(11; m; 2) =  Т₂(11^m)  =10=2¹*5¹, бо діофантове рівняння 11^mºy(mod 10²), має десять двоцифрових розв’язків, а саме у = {21; 31; 41; 51; 61; 71; 81;91;01}.

г) V(11; m; 3) =  Т₃(11^m)  =10*5=2¹*5²=50, бо діофантове рівняння 11^mºy(mod 10³), має п’ятдесят трицифрових розв’язків, а саме у = {011; 121; 331; 641; 051; 561; 171; 881; 691; 601; 511; 721; 931; 241; 651; 161; 771; 481; 291; 201; 211; 321; 531; 841; 251; 761; 371; 081; 891; 801; 811; 921; 131; 441; 851; 361; 971; 681; 491; 401; 411; 521; 731; 041; 451; 961; 571; 281; 091; 001}.

д) V(11; m; 4) =  Т₄(11^m)  =50*10=2²*5³, бо діофантове рівняння 11^mºy(mod 10⁴), має п’ятcот чотирицифрових розв’язків.

е) V(11; m; 5) =  Т₅(11^m)  =500*5=2²*5⁴, бо діофантове рівняння 11^mºy(mod 10⁵), має 2 500 п’ятицифрових розв’язків.

є) V(11; m; 6) =  Т₆(11^m)  =2500*10=2³*5⁵, бо діофантове рівняння 11^mºy(mod 10⁶), має 250 000 шестицифрових розв’язків.

ж) V(11; m; 7) =  Т₇(11^m)  =25000*5=2³*5⁶, бо діофантове рівняння 11^mºy(mod 10⁷), має 1 250 000 семицифрових розв’язків.

з) V(11; m; n) =  Т_n(11^m)  =2^[n/2]*5^n-1,  згідно індукції, це кількістm n-цифрових  розв’язків  рівняння

11^m ºy(mod 10ⁿ).

Як  бачите, що для обчислення функції її потрібно розкладати в добуток двох таких самих, але в системах числення 2 і 5. Тобто, ця функція є мультиплікативною відносно системи числення, і її варто розглядати лише над простим модулем. Взагалі, я вважаю, що прив'язування будь-яких досліджень до десяткової системи числення - це ідеологічна помилка: у такий спосіб справжня наука не робиться.

Сама ідея цікава, це питання, якщо його правильно поставити, стосується асимптотичної поведінки квадратичних (кубічних, і т.д.) лишків. Для багатьох степенів зараз відомі формули, аналогічні квадратичному закону композиції Гаусса, які дозволяють швидко з'ясувати, чи має рівняння такого виду якийсь корінь. Але це складне питання в кожному конкретному випадку, і знайти асимптотику, мабуть, до цих пір ніхто не пробував. Можливо, ви спробуєте  скласти якусь таблицю на комп'ютері, вивести графік, а тоді будемо думати. Щодо сучасної теорії лишків для високих степенів - можу рекомендувати спец.курс Н. Вавилов "Высшие законы композиции" на сайті Лекторіум або на ютюбі. Але це складний кур, важко його дослухати до кінця.

2^m º g(mod 10ⁿ), де n, m, g,  - натуральні числа.

Найменший n-цифровий період Т_n(2^m)=4*5^n-1, - це формула геометричної прогресії із знаменником 5.

4*5^n-1– це кількість  n-цифрових розв’язків  рівняння 2^m º g(mod 10ⁿ). 

Розглянемо конкретний випадок при  n=3.

Найменший 3-цифровий період Т₃(2^m)=4*5²=100;  тому  сто  трицифрових розв’язків рівняння

2^m º g(mod 10³)  Y={ 128; 256; 512; 024; 048; 096; 192; 384; 768; 536; 072; 144; 288; 576; 152; 304; 608;

216; 432; 864; 728; 456; 912; 824; 648; 296; 592; 184; 368; 736; 472; 944; 888; 776; 552; 104; 208; 416;

832; 664; 328; 656; 312; 624; 248; 496; 992; 984; 968; 936; 872; 744; 488; 976; 952; 904; 808; 616; 232;

464; 928; 856; 712; 424; 848; 696; 392; 784; 568; 136; 272; 544; 088; 176; 352; 704; 408; 816; 632; 264;

528; 056; 112; 224; 448; 896; 792; 584; 168; 336; 672; 344; 688; 376; 752; 504, 008; 016; 032; 064}.

Розглянемо конкретний випадок при  n=2.

Найменший двоцифровий  період  Т₂(2^m)=4*5=20,  тому  двадцять двоцифрових розв’язків рівняння

2^m º g(mod 10²)  Y={, 02, 04, 08, 16, 32, 64, 28, 56, 12, 24, 48, 96, 92, 84, 68, 36, 72, 44, 88,76, 52}.

Розглянемо конкретний випадок при  n=1.

Найменший одноцифровий період Т₁(2^m)=4,  тому чотири одноцифрових розв’язків рівняння

2^m º g(mod 10) Y={2, 4, 8, 6}.

На 2 ділиться без остачі будь-яке ціле число, остання цифра якого парна (0, 2, 4, 6, 8) (наприклад: 58/2=29, 1004/2=502).

Доведення: будь-яке ціле число можна представити у вигляді суми першого розряду та решти числа. Нехай |a|=b₁+10b₂, де b₁ — перший розряд a, b₂ — число, що складається з решти розрядів a. Якщо поділити a на 2, то вираз b₁+10b₂ можна розписати, як b₁/2+10b₂/2, або b₁/2+5b₂. Отже b₁ має націло ділитись на 2. Оскільки воно лежить в межах від 0 до 9, і є натуральним числом, то воно може бути одним з п'яти наступних чисел: 0, 2, 4, 6, 8.

Розв’язати діофантове  рівняння     2^m = р.

km = n,  k=2, тоді   2m = n	Найменший n-цифровий період Тn(2m)=4*5n-1
Період розряду одиниць  2m º g(mod 10)	Період розрядів одиниць, десятків 2m º g(mod 100)	Період розрядів одиниць, десятків, сотень  2m º g(mod 1000)
Найменший період Т=4,  Розряд одиниць a*100, період(2, 4, 8 ,6) 2m = 1, m=0;  2m =2, m=1;   2m =4, m=2;  2m =8, m=3;	Найменший період Т=20, Розряди десятків та одиниць a1*101 +a0*100, період(01, 02, 04, 08, 16, 32, 64, 28, 56, 12, 24, 48, 96, 92, 84, 68, 36, 72, 44, 88,76, 52) 2m = 1, m=0;  2m =2, m=1;   2m =4, m=2;  2m =8, m=3;   2m =16, m=4;    2m = 32, m=5;   2m = 64, m=6;	Найменший період Т=100,  Розряди одиниць, десятків, сотень a2*102 + a1*101 +a0*100, період(001; 002; 004; 008; 016; 032; 064; 128; 256; 512; 024; 048; 096; 192; 384; 768; 536; 072; 144; 288; 576; 152; 304; 608; 216; 432; 864; 728; 456; 912; 824; 648; 296; 592; 184; 368; 736; 472; 944; 888; 776; 552; 104; 208; 416; 832; 664; 328; 656; 312; 624; 248; 496; 992; 984; 968; 936; 872; 744; 488; 976; 952; 904; 808; 616; 232; 464; 928; 856; 712; 424; 848; 696; 392; 784; 568; 136; 272; 544; 088; 176; 352; 704; 408; 816; 632; 264; 528; 056; 112; 224; 448; 896; 792; 584; 168; 336; 672; 344; 688; 376; 752; 504(2102), … 2m = 1, m=0;  2m =2, m=1;   2m =4, m=2;  2m =8, m=3;   2m =16, m=4;    2m = 32, m=5;   2m = 64, m=6;     2m = 128, m=7;  2m =256, m=8;   2m =512, m=9; 2m =1024, m=10;  2m =2048, m=11;  2m =4096, m=12;  2m =8192, m=13
24q+1 º 2(mod 10)	220m+2º 04(mod 100)	2100m+2º 004(mod 1000)
24q+2 º 4(mod 10)	220m+3º 08(mod 100)	2100m+3º 008(mod 1000)
24q+3 º 8(mod 10)	220m+4º 16(mod 100)	2100m+4º 016(mod 1000)
24q+4 º 6(mod 10)	220m+5º 32(mod 100)	2100m+5º 032(mod 1000)
	220m+6º 64(mod 100)	2100m+6º 064(mod 1000)
	……………….	…………………..
	……………….	……………..
	……………………	…………………..
	220m+18º 44(mod 100)	2100m+98º 344(mod 1000)
	220m+19º 88(mod 100)	2100m+99º 688(mod 1000)
	220m+21º 52(mod 100)	2100m+100º 376(mod 1000)
	220m+22º 04(mod 100)	2100m+101º 752(mod 1000)
		2100m+102º 504(mod 1000)
		2100m+103º 008(mod 1000)
		2100m+104º 016(mod 1000)

Відповідь:

р={2, 4; 8; 16; 32; 64; 128; 256; 512; 024; 048; 096; 192; 384; 768; 536; 072; 144; 288; 576; 152; 304; 608;

216; 432; 864; 728; 456; 912; 824; 648; 296; 592; 184; 368; 736; 472; 944; 888; 776; 552; 104; 208; 416;

832; 664; 328; 656; 312; 624; 248; 496; 992; 984; 968; 936; 872; 744; 488; 976; 952; 904; 808; 616; 232;

464; 928; 856; 712; 424; 848; 696; 392; 784; 568; 136; 272; 544; 088; 176; 352; 704; 408; 816; 632; 264;

528; 056; 112; 224; 448; 896; 792; 584; 168; 336; 672; 344; 688; 376; 752; 504, …}.

3.      Розв’язати діофантове  рівняння     3^m = р.

3^m º g(mod 10ⁿ), де n, m, g,  - натуральні числа.

Найменший n-цифровий період Т_n(3^m)=4*5^n-1, -  це формула геометричної прогресії із знаменником 5.

4*5^n-1– це кількість  n-цифрових розв’язків  рівняння 3^m º g(mod 10ⁿ). 

Розглянемо конкретний випадок при  n=3.

Найменший трицифровий період Т₃(3^m)=100,  сто  трицифрових розв’язків рівняння

3^m º g(mod 10³) Y={243; 729; 187; 561; 683; 049; 147; 441; 323; 969; 907; 721; 163; 489; 467; 401; 203; 609; 827; 481; 443; 329; 987; 961; 883; 649; 947; 841; 523; 569; 707; 121; 363; 089; 267; 801; 403; 209; 627; 881; 643; 929; 787; 361; 083; 249; 747; 241; 723; 169; 507; 521; 563; 689; 067; 201; 603; 809; 427; 281; 843; 529; 587; 761; 283; 849; 547; 641; 923; 769; 307; 921; 763; 289; 867; 601; 803; 409; 227; 681; 043; 129; 387; 161; 483; 449; 347; 041; 123; 369; 107; 321; 963; 889; 667; 001; 003; 009; 027; 081}.

Розглянемо конкретний випадок при  n=2.

Найменший двоцифровий період Т₂(3^m)=20, двадцять двоцифрових розв’язків рівняння

3^m º g(mod 10²) Y={03; 09; 27; 81; 43; 29; 87; 61; 83; 49; 47; 41; 23; 69; 07; 21; 63; 89; 67; 01}.

Розглянемо конкретний випадок при  n=1.

Найменший одноцифровий період Т₁(3^m)=4,  тому чотири одноцифрових розв’язків  рівняння 

3^m º g(mod 10) Y={3, 9, 7, 1}.

Число ділиться на 3 тоді, якщо сума його цифр ділиться на 3. Наприклад: 57 в сумі має цифру 12. 12:3 = 4, отже число ділиться на 3

km = n,  k=3, тоді   3m = n	Найменший n-цифровий період Тn(3m)=4*5n-1
Період розряду одиниць   3m º g(mod 10)	2-розрядний період десятків і одиниць 3m º g(mod 100)	3-розрядний  період одиниць, десятків, сотень 3m º g(mod 1000)
Період Т=4,  Розряд одиниць a*100, період(3, 9, 7, 1) 3m = 1, m=0;  3m =3, m=1;   3m =9, m=2;	Період Т=20, Розряди десятків та одиниць a1*101 +a0*100, період(03; 09; 27; 81; 43; 29; 87; 61; 83; 49; 47; 41; 23; 69;07; 21; 63; 89; 67; 01) 3m = 1, m=0;  3m =3, m=1;   3m =9, m=2;  3m =27, m=3;   3m =81, m=4;	Період Т=100,  Розряди одиниць, десятків, сотень a2*102 + a1*101 +a0*100, період(001; 003; 009; 027; 081; 243; 729; 187; 561; 683; 049; 147; 441; 323; 969; 907; 721; 163; 489; 467; 401; 203; 609; 827; 481; 443; 329; 987; 961; 883; 649; 947; 841; 523; 569; 707; 121; 363; 089; 267; 801; 403; 209; 627; 881; 643; 929; 787; 361; 083; 249; 747; 241; 723; 169; 507; 521; 563; 689; 067; 201; 603; 809; 427; 281; 843; 529; 587; 761; 283; 849; 547; 641; 923; 769; 307; 921; 763; 289; 867; 601; 803; 409; 227; 681; 043; 129; 387; 161; 483; 449; 347; 041; 123; 369; 107; 321; 963; 889; 667; 001; …) 3m = 1, m=0;  3m =3, m=1;   3m =9, m=2;  3m =27, m=3;   3m =81, m=4;    3m = 243, m=5;   3m = 729, m=6;     3m = 2187, m=7;  3m =6561, m=8;   3m =19683, m=9;
34q+1 º 3(mod 10)	320mº 01(mod 100)	3100m+1º 003(mod 1000)
34q+2 º 9(mod 10)	320m+1º 03(mod 100)	3100m+2º 009(mod 1000)
34q+3 º 7(mod 10)	320m+2º 09(mod 100)	3100m+3º 027(mod 1000)
34q+4 º 1(mod 10)	320m+3º 27(mod 100)	3100m+4º 081(mod 1000)
	320m+4º 81(mod 100)	3100m+5º243(mod 1000)
	320m+5º 43(mod 100)	3100m+6º 729(mod 1000)
	320m+6º 29(mod 100)	3100m+7º 187(mod 1000)
	……………………	…………………..
	320m+18º 44(mod 100)	3100m+98º 889(mod 1000)
	320m+19º67(mod 100)	3100m+99º 667(mod 1000)
	320m+20º 01(mod 100)	3100m+100º001(mod 1000)
	320m+21º 03(mod 100)	3100m+101º 003(mod 1000)
		3100m+102º 009(mod 1000)
		3100m+103º 027(mod 1000)
		3100m+104º 081(mod 1000)

ВІДПОВІДЬ: Р={243; 729; 187; 561; 683; 049; 147; 441; 323; 969; 907; 721; 163; 489; 467; 401; 203; 609; 827; 481; 443; 329; 987; 961; 883; 649; 947; 841; 523; 569; 707; 121; 363; 089; 267; 801; 403; 209; 627; 881; 643; 929; 787; 361; 083; 249; 747; 241; 723; 169; 507; 521; 563; 689; 067; 201; 603; 809; 427; 281; 843; 529; 587; 761; 283; 849; 547; 641; 923; 769; 307; 921; 763; 289; 867; 601; 803; 409; 227; 681; 043; 129; 387; 161; 483; 449; 347; 041; 123; 369; 107; 321; 963; 889; 667; 001; 003; 009; 027; 081}.

4.      Розв’язати діофантове  рівняння     4^m = р.

4^m º2^2m º g(mod 10ⁿ), де n, m, g,  - натуральні числа.

Найменший n-цифровий період Т_n(4^m)=2^[n/2]5^n-1, - це формула геометричної прогресії із знаменником 5.

2^[n/2]5^n-1– це кількість  n-цифрових розв’язків рівняння 4^m º g(mod 10ⁿ). 

Розглянемо конкретний випадок при  n=3.

Найменший трицифровий період Т₃(4^m)=50;  п’ятдесят  трицифрових розв’язків рівняння

4^m º g(mod 10³) Y={256; 024; 96; 384; 536; 144; 576; 304; 216; 864; 456; 824; 296; 184; 736; 944; 776; 104; 416; 664; 656; 624; 496; 984; 936; 744; 976; 904; 616; 464; 856; 424; 696; 784; 136; 544; 176; 704; 816; 264; 056; 224; 896; 584; 336; 344; 376; 504; 016; 064; 256; 024; 096; 384; 536; 144; ….}.

Розглянемо конкретний випадок при  n=2.

Найменший двоцифровий період  Т₂(4^m)=10, десять двоцифрових розв’язків рівняння

4^m º g(mod 10²) Y={04; 16; 64; 56; 24; 96; 84; 36; 44; 76}.

Розглянемо конкретний випадок при  n=1.

Найменший  одноцифровий  період Т₁(4^m)=2,  два одноцифрових розв’язків рівняння 4^m º g(mod 10²) Y={4; 6}.

Число ділиться на 4 тоді, коли останнi двi цифри діляться на 4 (наприклад: 128/4 = 32, 256/4 = 64).

km = n, k=4, тоді 4m = n	Найменший n-цифровий період Тn(4m)= 2[n/2]5n-1
Період розряду одиниць   4m º g (mod 10)	2-розрядний період десятків і одиниць 4m º g (mod 100)	3-розрядний  період одиниць, десятків, сотень 4m º g (mod 1000)
Період Т=2,  Розряд одиниць a*100, період(4, 6, 4, 6) 4m = 1, m=0;  4m =4, m=1;   4m =16, m=2;	Період Т=10, Розряди десятків та одиниць a1*101 +a0*100, період(04; 16; 64; 56; 24; 96; 84; 36; 44; 76;) 4m = 1, m=0;  4m =4, m=1;   4m =16, m=2;  4m =64, m=3;   4m =256, m=4;	Період Т=50,  Розряди одиниць, десятків, сотень a2*102 + a1*101 +a0*100, період(004; 016; 064; 256; 024; 096; 384; 536; 144; 576; 304; 216; 864; 456; 824; 296; 184; 736; 944; 776; 104; 416; 664; 656; 624; 496; 984; 936; 744; 976; 904; 616; 464; 856; 424; 696; 784; 136; 544; 176; 704; 816; 264; 056; 224; 896; 584; 336; 344; 376; 504; 016….}.) 4m = 1, m=0;  4m =4, m=1;   4m =16, m=2;  4m =64, m=3;   4m =256, m=4;    4m = 1024, m=5;   4m = 4096, m=6;     4m = 16384, m=7;  4m =65536, m=8;   4m =262144, m=9;
42q+1 º 4(mod 10)	410mº 1(mod 100)	450m+1º 004(mod 1000)
42q+2 º6(mod 10)	410m+1º 04(mod 100)	450m+2º 016(mod 1000)
42q+3 º 4(mod 10)	410m+2º 16(mod 100)	450m+3º 064(mod 1000)
42q+4 º 6(mod 10)	410m+3º 64(mod 100)	450m+4º 256(mod 1000)
	410m+4º 56(mod 100)	450m+5º024(mod 1000)
	410m+5º 24(mod 100)	450m+6º 096(mod 1000)
	410m+6º 96(mod 100)	450m+7º 384(mod 1000)
	410m+7º 84(mod 100)	…………………..
	410m+8º36 (mod 100)	450m+48º 336(mod 1000)
	410m+9º44 (mod 100)	450m+49º 344(mod 1000)
	410m+10º 76(mod 100)	450m+50º376(mod 1000)
	410m+11º 04(mod 100)	450m+51º 504(mod 1000)
		450m+52º 016(mod 1000)
		450m+53º 064(mod 1000)
		450m+54º 256(mod 1000)

Відповідь: Y={4; 16; 64; 256; 024; 96; 384; 536; 144; 576; 304; 216; 864; 456; 824; 296; 184; 736; 944; 776; 104; 416; 664; 656; 624; 496; 984; 936; 744; 976; 904; 616; 464; 856; 424; 696; 784; 136; 544; 176; 704; 816; 264; 056; 224; 896; 584; 336; 344; 376; 504; 016; 064; 256; 024; 096; 384; 536; 144; ….}.

Рівняння 5^m º g(mod 10ⁿ),  де n, m, g  - натуральні числа.

Найменший n-цифровий період Т_n(5^m)= 2^[n/2], - це формула геометричної прогресії із знаменником 2.

2^[n/2] – це кількість  n-цифрових розв’язків рівняння 5^m º g(mod 10ⁿ). 

Найменший трицифровий період Т₃(5^m)=2;   

Два  трицифрових розв’язки рівняння 5^m º g(mod 10³), Y={125; 625}

Найменший двоцифровий період  Т₂(5^m)=1,

 Один  одноцифровий розв’язок рівняння  5^m º g(mod 10²),  Y={25}.

Найменший  одноцифровий  період Т₁(5^m)=1,  один одноцифровий розв’язок рівняння

 5^m º g(mod 10) Y={5}

Ознака поліьності на 5. На 5 ділиться будь-яке ціле число, остання цифра якого дорівнює 5 або 0 (наприклад: 65/5=13, 783910/5=156782).
Доведення.
Нехай a=b₁+10b₂, де b₁ — перший розряд a, а b₂ — число, що складається з решти розрядів числа a. Якщо a поділити на 5, то вираз b₁+10b₂ можна переписати так: b₁/5+10b₂/5, або так b₁/5+2b₂. Отже b₁ має націло ділитися на 5. Оскільки b₁ натуральне та лежить в межах від 0 до 9, то воно може набирати одне з двох значень: 0 або 5.

km = n,  k=5, тоді   5m = n	Найменший n-цифровий період Тn(5m)= 2[n/2]
Період розряду одиниць   5m º g(mod 10)	2-розрядний період десятків і одиниць 5m º g(mod 100)	3-розрядний  період одиниць, десятків, сотень 5m º g(mod 1000)
Період Т=1,  Розряд одиниць a*100, період(1,5, 5, 5) 5m = 1, m=0;  5m =5, m=1;   5m =25, m=2;	Період Т=1, Розряди десятків та одиниць a1*101 +a0*100, період(1; 25; 25; 25; 25;…) 5m = 1, m=0;  5m =5, m=1;   5m =25, m=2;  5m =125, m=3;   5m =625, m=4;	Період Т=2,  Розряди одиниць, десятків, сотень a2*102 + a1*101 +a0*100, період(001; 005; 025; 125; 625; 125; 625; 125; ….}.) 5m = 1, m=0;  5m =5, m=1;   5m =25, m=2;  5m =125, m=3;   5m =625, m=4;    5m = 3125, m=5;   5m = 15625, m=6;     5m =78125, m=7;  5m =390625, m=8;   5m =1953125, m=9;
52q+1 º 5(mod 10)	52q+1 º 25(mod 100)	52m+1º 125(mod 1000)  m>1;
52q+2 º5(mod 10)	52q º 25(mod 100)	42m+2º 625(mod 1000)   m>1;
52q+3 º 5(mod 10)	52q-1 º 25(mod 100)	42m+3º125(mod 1000)
52q+4 º 5(mod 10)		42m+4º 625(mod 1000)

5.      Розв’язати діофантове  рівняння     6^m = р.

6^m º2^m3^m º g(mod 10ⁿ), де n, m, g,  - натуральні числа.

Найменший n-цифровий період Т_n(6^m)= 5^n-1 - це формула геометричної прогресії із знаменником 5.

5^n-1– це кількість  n-цифрових розв’язків рівняння 6^m º g(mod 10ⁿ). 

Найменший трицифровий період Т₃(6^m)=25;   двадцять п’ять  трицифрових розв’язків рівняння

6^m º g(mod 10³)  Y={6; 36; 216; 296; 776; 656; 936; 616; 696; 176; 056; 336; 016; 096; 576; 456; 736; 416; 496; 976; 856; 136; 816; 896; 376; 256; 536; 216; 296;….}

Найменший двоцифровий період  Т₂(6^m)=5,  п’ять  двоцифрових розв’язків рівняння 6^m º g(mod 10²)  Y={ 36; 16; 96; 76; 56}.

Найменший  одноцифровий  період Т₁(6^m)=1, один  одноцифровий  розв’язок рівняння

 6^m º g(mod 10)  Y={6}

Ознака подільності на 6. Число ділиться на 6 тоді і тільки тоді, коли воно ділиться на 2 та на 3.

km = n,  k=6, тоді   6m = n	Найменший n-цифровий період Тn(6m)=5n-1
Період розряду одиниць 6m º g(mod 10)	2-розрядний період десятків і одиниць 6m º g(mod 100)	3-розрядний  період одиниць, десятків, сотень 6m º g(mod 1000)
Період Т=1,  Розряд одиниць a*100, період(6, 6, 6, 6) 6m = 1, m=0;  6m =6, m=1;   6m =36, m=2;	Період Т=5, Розряди десятків та одиниць a1*101 +a0*100, період{06; 36; 16; 96; 76; 56; 36; 16; 96; 76; 56; 36; 16; ….} 6m = 1, m=0;  6m =6, m=1;   6m =36, m=2;  6m =216, m=3;   6m =1296, m=4;	Період Т=25,  Розряди одиниць, десятків, сотень a2*102 + a1*101 +a0*100, період {001; 006; 036; 216; 296; 776; 656; 936; 616; 696; 176; 056; 336; 016; 096; 576; 456; 736; 416; 496; 976; 856; 136; 816; 896; 376; 256; 536; 216; 296;….} 6m = 1, m=0;  6m =6, m=1;   6m =36, m=2;  6m =216, m=3;   6m =1296, m=4;    6m = 7776, m=5;   6m =46656, m=6;     6m = 279936, m=7;  6m =1679616, m=8;   6m =10077696, m=9;
64q+1 º 6(mod 10)	65m+2º 36(mod 100)	625m+1º 006(mod 1000)
64q+2 º 6(mod 10)	65m+3º16(mod 100)	625m+2º 036(mod 1000)
64q+3 º 6(mod 10)	65m+2º 96(mod 100)	625m+3º 216(mod 1000)
64q+4 º 6(mod 10)	65m+3º 76(mod 100)	625m+4º 296(mod 1000)
	65m+4º 56(mod 100)	625m+5º776(mod 1000)
	65m+5º 36(mod 100)	625m+6º 656(mod 1000)
	65m+6º 16(mod 100)	625m+7º 936(mod 1000)
	65m+7º 96(mod 100)	…………………..
		625m+22º 896(mod 1000)
		625m+23º376(mod 1000)
		625m+24º256(mod 1000)
		625m+25º 536(mod 1000)
		625m+26º 216(mod 1000)

Відповідь: Y={6; 36; 216; 296; 776; 656; 936; 616; 696; 176; 056; 336; 016; 096; 576; 456; 736; 416; 496; 976; 856; 136; 816; 896; 376; 256; 536; 216; 296;….}

6.      Рівняння 7^m º g(mod 10ⁿ),  де n, m, g  - натуральні числа.

Найменший n-цифровий період Т_n(7^m)=4*5^n-2, - це формула геометричної прогресії із знаменником 5.

4*5^n-2 – це кількість  n-цифрових розв’язків рівняння 7^m º g(mod 10ⁿ). 

Найменший трицифровий період Т₃(7^m)=20;   

Двадцять  трицифрових розв’язки рівняння 7^m º g(mod 10³), Y={7; 49; 343; 401; 807; 649; 543; 801; 607; 249; 743; 201; 407; 849; 943; 601; 207; 449; 143; 001; 007; 049; 343;  …}

Найменший двоцифровий період  Т₂(7^m)=4,

 чотири двоцифрових розв’язки рівняння 7^m º g(mod 10²) Y={07; 49; 43; 01}

Найменший  одноцифровий  період Т₁(7^m)=4, чотири одноцифрових розв’язки рівняння

 7^m º g(mod 10) Y={7; 9; 3; 1}

Ознака подільності на 7. Число 7 буде дільником заданого числа у випадку якщо виконується одне з правил: Якщо потроєна сума десятків разом з одиницями ділиться на 7. Наприклад, перевіримо число 112 за ознаками подільності 3*11+2=35; 35/7=5. Правило виконується, отже 112 ділиться на 7. Якщо сума подвоєного числа без останніх двох цифр ділиться на 7. Наприклад, 168 ділиться на 7, оскільки 2*1+68=70; 70 /7 = 10. Якщо сума числа без останньої цифри, помноженої на 5, ділиться на 7. Наприклад, 161 ділиться на 7, оскільки 16+5*1=21; 21/7 =3 ділиться на 7 націло.

km = n,  k=7, тоді   7m = n	Найменший n-цифровий період Тn(7m)=4*5n-2
Період розряду одиниць  7m º  g(mod 10)	Період розрядів одиниць, десятків 7m º g (mod 100)	Період розрядів одиниць, десятків, сотень  7m º g(mod 1000)
Найменший період Т=4,  Розряд одиниць a*100, період(1, 7, 9, 3, 1, …) 7m = 1, m=0;  7m =7, m=1;   7m =49, m=2;  7m =343, m=3;	Найменший період Т=4, Розряди десятків та одиниць a1*101 +a0*100, період(01, 07, 49, 43, 01, 07, 49, 43, …) 7m = 1, m=0;  7m =7, m=1;   7m =49, m=2;  7m =343, m=3;   7m =2401, m=4;    7m = 16807, m=5;   7m = 117649, m=6;	Найменший період Т=20,  Розряди одиниць, десятків, сотень a2*102 + a1*101 +a0*100, період{7; 49; 343; 401; 807; 649; 543; 801; 607; 249; 743; 201; 407; 849; 943; 601; 207; 449; 143; 001; 007; 049; 343;  …} 7m = 1, m=0;  7m =7, m=1;   7m =49, m=2;  7m =343, m=3;   7m =2401, m=4;    7m = 16807, m=5;   7m = 117649, m=6;     7m = 823543, m=7;  7m =5764801, m=8;   7m =403536607, m=9; 7m =2824752449, m=10;  7m =1977326743, m=11
74q+1 º7(mod 10)	74q+1 º07(mod 100)	720m+2º 049(mod 1000)
74q+2 º 9(mod 10)	74q+2 º 49(mod 100)	720m+3º 343(mod 1000)
74q+3 º 3(mod 10)	74q+3 º43(mod 100)	720m+4º 401(mod 1000)
74q+4 º 1(mod 10)	74q+4 º 01(mod 100)	720m+5º 807(mod 1000)
	720m+5º 07(mod 100)	7100m+6º 649(mod 1000)
		…………………..
		……………..
		…………………..
		720m+18º 449(mod 1000)
		720m+19º 143(mod 1000)
		720m+20º 001(mod 1000)
		720m+21º 007(mod 1000)

Розв’язати діофантове  рівняння     8^m = р.

8^m º g(mod 10ⁿ), де n, m, g,  - натуральні числа.

Найменший n-цифровий період Т_n(8^m)=4*5^n-1, - це формула геометричної прогресії із знаменником 5.

4*5^n-1– це кількість  n-цифрових розв’язків  рівняння 8^m º g(mod 10ⁿ). 

Розглянемо конкретний випадок при  n=3.

Найменший 3-цифровий період Т₃(8^m)=4*5²=100;  тому  сто  трицифрових розв’язків рівняння

8^m º g(mod 10³)  Y={ 008; 064; 512; 096; 768; 144; 152; 216; 728; 824; 592; 736; 888; 104; 832; 656; 248; 984; 872; 976; 808; 464; 712; 696; 568; 544; 352; 816; 528; 224; 792; 336; 688; 504; 032; 256; 048; 384; 072; 576; 608; 864; 912; 296; 368; 944; 552; 416; 328; 624; 992; 936; 488; 904; 232; 856; 848; 784; 272; 176; 408; 264; 112; 896; 168; 344; 752; 016; 128; 024; 192; 536; 288; 304; 432; 456; 648; 184; 472; 776; 208; 664; 312; 496; 968;  744; 952; 616; 928; 424; 392; 136; 088; 704; 632; 056; 448; 584; 672; 376}.

Розглянемо конкретний випадок при  n=2.

Найменший двоцифровий  період  Т₂(8^m)=4*5=20,  тому  двадцять двоцифрових розв’язків рівняння

8^m º g(mod 10²)  Y={08; 64; 12;  96; 68; 44; 52; 16; 28; 24; 92; 36; 88; 04; 32; 56; 48; 84; 72; 76}.

Розглянемо конкретний випадок при  n=1.

Найменший одноцифровий період Т₁(8^m)=4,  тому  чотири одноцифрових розв’язків рівняння 

8^m º g(mod 10) Y={8, 4, 2, 6}.

Ознака подільності на 8. Число ділиться на 8 тоді і тільки тоді, якщо число, утворене його трьома останніми цифрами ділиться на 8. ('наприклад: 128/8 = 16, 1800 / 8 = 225).

Доведення

Діємо аналогічно випадку для подільності на 4. Представимо число N у вигляді A*1000 + B. Оскільки 1000 ділиться на 8, то число N ділиться на 8 тоді і тільки тоді, коли B ділиться на 8. Але саме B і є числом, утвореним трьома останніми цифрами числа N.

km = n, k=8, тоді   8m = n	Найменший n-цифровий період Тn(8m)=4*5n-1
Період розряду одиниць    8m º g(mod 10)	2-розрядний період десятків і одиниць 8m º g(mod 100)	3-розрядний  період одиниць, десятків, сотень 8m º g(mod 1000)
Період Т=4,  Розряд одиниць a*100, період(8, 4, 2, 6) 8m = 1, m=0;  8m =8, m=1;   8m =64, m=2;  8m =512, m=3;   8m =4096, m=4;	Період Т=20, Розряди десятків та одиниць a1*101 +a0*100, період(08; 64; 12;  96; 68; 44; 52; 16; 28; 24; 92; 36; 88; 04; 32; 56; 48; 84; 72; 76) 8m = 1, m=0;  8m =8, m=1;   8m =64, m=2;  8m =512, m=3;   8m =4096, m=4;	Період Т=100,  Розряди одиниць, десятків, сотень a2*102 + a1*101 +a0*100, період{8; 64; 512; 096; 768; 144; 152; 216; 728; 824; 592; 736; 888; 104; 832; 656; 248; 984; 872; 976; 808; 464; 712; 696; 568; 544; 352; 816; 528; 224; 792; 336; 688; 504; 032; 256; 048; 384; 072; 576; 608; 864; 912; 296; 368; 944; 552; 416; 328; 624; 992; 936; 488; 904; 232; 856; 848; 784; 272; 176; 408; 264; 112; 896; 168; 344; 752; 016; 128; 024; 192; 536; 288; 304; 432; 456; 648; 184; 472; 776; 208; 664; 312; 496; 968;  744; 952; 616; 928; 424; 392; 136; 088; 704; 632; 056; 448; 584; 672; 376; 008; 064; 512; …} 8m = 1, m=0;  8m =8, m=1;   8m =64, m=2;  8m =512, m=3;   8m =4096, m=4;    8m =32768, m=5;   8m = 262144, m=6;     8m = 2097152, m=7;  8m =16777216, m=8;   8m =134217728, m=9;
84q+1 º 8(mod 10)	820mº 08(mod 100)	8100m+1º 008(mod 1000)
84q+2 º 4(mod 10)	820m+1º 64(mod 100)	8100m+2º 064(mod 1000)
84q+3 º 2(mod 10)	820m+2º 12(mod 100)	8100m+3º 512(mod 1000)
84q+4 º 6(mod 10)	820m+3º 96(mod 100)	8100m+4º 096(mod 1000)
	820m+4º68(mod 100)	8100m+5º768(mod 1000)
	820m+5º 44(mod 100)	8100m+6º 144(mod 1000)
	820m+6º 52(mod 100)	8100m+7º 152(mod 1000)
	……………………	…………………..
	820m+18º 84(mod 100)	8100m+98º 584(mod 1000)
	820m+19º72(mod 100)	8100m+99º 672(mod 1000)
	820m+20º 76(mod 100)	8100m+100º376(mod 1000)
	820m+21º 08(mod 100)	8100m+101º 008(mod 1000)
		8100m+102º 064(mod 1000)
		8100m+103º 512(mod 1000)
		8100m+104º 096(mod 1000)

Розв’язати діофантове  рівняння     9^m = р.

9^m º g(mod 10ⁿ), де n, m, g,  - натуральні числа.

Найменший n-цифровий період Т_n(9^m)=2*5^n-1, - це формула геометричної прогресії із знаменником 5.

2*5^n-1– це кількість  n-цифрових розв’язків  рівняння 9^m º g(mod 10ⁿ). 

Розглянемо конкретний випадок при  n=3.

Найменший 3-цифровий період Т₃(9^m)=2*5²=50;  тому  п’ятдесят  трицифрових розв’язків рівняння

9^m º g(mod 10³)  Y={009; 081; 729; 561; 049; 441; 969; 721; 489; 401; 609; 481; 329; 961; 649; 841; 569; 121; 089; 801; 209; 881; 929; 361; 249; 241; 169; 521; 689; 201; 809; 281; 529; 761; 849; 641; 769; 921; 289; 601; 409; 681; 129; 161; 449; 41; 369; 321; 889}

Розглянемо конкретний випадок при  n=2.

Найменший двоцифровий  період  Т₂(9^m)=2*5=10,  тому  десять  двоцифрових розв’язків рівняння

9^m º g(mod 10²)  Y={09; 81; 29; 61; 49; 41; 69; 21; 89; 01}.

Розглянемо конкретний випадок при  n=1.

Найменший одноцифровий період Т₁(9^m)=2,  тому два одноцифрових розв’язків рівняння

9^m º g(mod 10) Y={9, 1}.

Ознака

Число ділиться на 9 тоді і тільки тоді, якщо сума його цифр у десятковому запису ділиться на 9 ('наприклад: 333/9 = 37, 111111111 / 9 = 12345679).

Доведення

Будь-яке число А можна представити у вигляді А = a₀*10^k + a₁*10^{k — 1} + … + a_k-1*10¹ + a_k*10⁰, де a₀, a₁, .., a_k — цифри числа А з найбільш значущої до найменш значущої (розряду одиниць). Сума декількох чисел ділиться на число Y тоді і тільки тоді, коли сума залишків цих чисел при діленні на Y також ділиться на Y. Іншими словами:

(x₀ + x₁ + … + x_k) mod Y = ((x₀ mod Y) + (x₁ mod Y) + … + (x_k mod Y)) mod Y.

Аналогічне співвідношення виконується і для множення:
(x₀ * x₁ * … * x_k) mod Y = ((x₀ mod Y) * (x₁ mod Y) * … * (x_k mod Y)) mod Y.

Останнім кроком у нашому доведенні буде помітити, що усі ступені числа 10 (1, 10, 100, 1000, …) дають у залишку 1 при діленні на 9. Отже: А mod 9 = (a₀*10^k + a₁*10^{k — 1} + … + a_{k  -1}*10¹ + a_k*10⁰) mod 9 = (((a₀*10^k) mod 9) + ((a₁*10^{k — 1}) mod 9) + … + ((a₁*10¹) mod 9) + ((a_k*10⁰) mod 9)) mod 9 = (a₀ + a₁ + … + a_{k — 1} + a_k) mod 9,

що необхідно було довести.

km = n,  k=9, тоді   9m = n	Найменший n-цифровий період Тn(9m)=2*5n-1
Період розряду одиниць 9m º g(mod 10)	Період розрядів одиниць, десятків 9m º g(mod 100)	Період розрядів одиниць, десятків, сотень 9 º g(mod 1000)
Найменший період Т=4,  Розряд одиниць a*100, період(9, 1, 9, 1) 9m = 1, m=0;  9m =9, m=1;   9m =81, m=2;  9m =729, m=3;	Найменший період Т=10, Розряди десятків та одиниць a1*101 +a0*100, період{09; 81; 29; 61; 49; 41; 69; 21; 89; 01} 9m = 1, m=0;  9m =9, m=1;   9m =81, m=2;  9m =729, m=3;   9m =6561, m=4;    9m = 59049, m=5;   9m =531441, m=6;	Найменший період Т=50,  Розряди одиниць, десятків, сотень a2*102 + a1*101 +a0*100, період{9; 81; 729; 561; 49; 441; 969; 721; 489; 401; 609; 481; 329; 961; 649; 841; 569; 121; 89; 801; 209; 881; 929; 361; 249; 241; 169; 521; 689; 201; 809; 281; 529; 761; 849; 641; 769; 921; 289; 601; 409; 681; 129; 161; 449; 41; 369; 321; 889} … 9m = 1, m=0;  9m =9, m=1;   9m =81, m=2;  9m =729, m=3;   9m =6561, m=4;    9m = 59049, m=5;   9m =531441, m=6;     9m = 4782969, m=7;  9m =43046721, m=8;   9m =387420489, m=9; 9m =3486784401, m=10
92q+1 º 9(mod 10)	910m+1º 09(mod 100)	950m+1º 009(mod 1000)
92q+2 º 1(mod 10)	910m+2º 81(mod 100)	950m+2º 081(mod 1000)
92q+3 º 9(mod 10)	910m+3º 29(mod 100)	950m+3º 729(mod 1000)
92q+4 º 1(mod 10)	910m+4º 61(mod 100)	950m+4º 561(mod 1000)
	910m+5º 49(mod 100)	950m+5º 049(mod 1000)
	910m+6º 41(mod 100)	950m+6º 441(mod 1000)
	910m+7º 69(mod 100)	950m+7º 969(mod 1000)
	910m+8º 21(mod 100)	950m+8º 721(mod 1000)
	910m+9º 89(mod 100)	950m+9º 489(mod 1000)
	910mº 01(mod 100)	950m+10º 401(mod 1000)
		……..
		…….
		…….
		950m+49º 321(mod 1000)
		950m+50º 889(mod 1000)

Отже, можливі тільки такі степеневі двоцифрові лишки  для степенів цифр k^p  º g(mod 100): 00, 01,  02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 12,16, 21,23, 24, 25, 27, 28, 29, 32, 36, 41, 43, 44, 47, 48, 49, 52,56, 61, 63, 64, 67, 68, 69, 72,76, 81,83,  84, 88, 89, 92, 96.

7.      Розв’язати діофантове  рівняння     11^m = р.

Т_n(11^m)-  функція кількості n-цифрових  розв’язків рівняння 11^m º g(mod 10ⁿ). 

а) Т₁(11^m)  =1=2⁰*5⁰=10⁰, бо діофантове рівняння 11^mºy(mod 10¹), має один одноцифровий розв’язок, у=1.

б) Т₂(11^m)  =10=2¹*5¹, бо діофантове рівняння 11^mºy(mod 10²), має десять двоцифрових розв’язків, а саме у = {21; 31; 41; 51; 61; 71; 81;91;01}.

в)  Т₃(11^m)  =10*5=2¹*5²=50, бо діофантове рівняння 11^mºy(mod 10³), має п’ятдесят трицифрових розв’язків, а саме у = {011; 121; 331; 641; 051; 561; 171; 881; 691; 601; 511; 721; 931; 241; 651; 161; 771; 481; 291; 201; 211; 321; 531; 841; 251; 761; 371; 081; 891; 801; 811; 921; 131; 441; 851; 361; 971; 681; 491; 401; 411; 521; 731; 041; 451; 961; 571; 281; 091; 001}.

г) Т₄(11^m)  =50*10=2²*5³, бо діофантове рівняння 11^mºy(mod 10⁴), має п’ятcот чотирицифрових розв’язків.

д) Т₅(11^m)  =500*5=2²*5⁴, бо діофантове рівняння 11^mºy(mod 10⁵), має 2 500 п’ятицифрових розв’язків.

е) Т₆(11^m)  =2500*10=2³*5⁵, бо діофантове рівняння 11^mºy(mod 10⁶), має 250 000 шестицифрових розв’язків.

є)  Т₇(11^m)  =25000*5=2³*5⁶, бо діофантове рівняння 11^mºy(mod 10⁷), має 1 250 000 семицифрових розв’язків.

ж) Т_n(11^m)  =2^[n/2]*5^n-1,  згідно індукції, бо це кількість  n-цифрових  розв’язків  рівняння

11^m ºy(mod 10ⁿ).

11^m º g(mod 10ⁿ), де n, m, g,  - натуральні числа.

Найменший n-цифровий період Т_n(11^m)= 2^[n/2]*5^n-1, - це формула геометричної прогресії із змінним знаменником  на множині 5 та 10.

2^[n/2]*5^n-1 - це кількість  n-цифрових розв’язків рівняння 11^m º g(mod 10ⁿ). 

Найменший трицифровий період Т₃(11^m)=10*5;   п’ятдесят трицифрових розв’язків рівняння

11^m º g(mod 10³)  Y={6; 36; 216; 296; 776; 656; 936; 616; 696; 176; 056; 336; 016; 096; 576; 456; 736; 416; 496; 976; 856; 136; 816; 896; 376; 256; 536; 216; 296;….}

Найменший двоцифровий період  Т₂(11^m)=10,  десять  двоцифрових розв’язків рівняння 11^m º g(mod 10²)  Y={21; 31; 41; 51; 61; 71; 81;91;01}.

Найменший  одноцифровий  період Т₁(11^m)=1, один  одноцифровий  розв’язок рівняння

 11^m º g(mod 10)  Y={1}

Ознака подільності на 11. Число ділиться на 11 тоді і тільки тоді, коли його знакозмінна сума цифр ділиться на 11.
Приклад:  1331: -1+3-3+1 =0, 0:11=0. 1331:11 націло.

Число розбивається на блоки по дві цифри, починаючи з кінця. Сума блоків повинна ділитись на 11.

 627: 6 + 27 = 33. 33 ділиться на 11.

Якщо різниця між числом без останньої цифри і останньою цифрою ділиться на 11.

Приклад: 627: 62 — 7 = 55. 55 ділиться на 11.

Якщо сума цифр, що стоять на парних місцях відрізняється від суми цифр, що стоять на непарних місцях, починаючи з кінця, на число, що кратне 11.