Формули скороченого множення

Формули скороченого множення для цілих числових виразів

Різні факти про подільність многочленів та розклад їх на множники з цілими коефіцієнтами можуть допомогти розв'язувати задачі з цілими числами. Досить часто використовується те, що для цілих а і b та натурального n число

aⁿ-bⁿ ділиться на а-b,

а число

a^2n-1+b²ⁿ⁺¹ ділиться на а+b.

Степінь двочлена. (Біном Ньютона)

(a±b)⁰ = 1;

(a±b)¹ = a±b

(a±b)² = a²±2ab +b² –  це квадрат суми або різниці двох чисел;

(a±b)³ = a³±3a²b +3ab² ±b^{3  –} це куб суми або різниці двох чисел;;

(a±b)⁴ = a⁴±4a³b +6a²b² ±4ab² +b⁴;

(a±b)⁵ = a⁵±5a⁴b +10a³b² ±10a²b³ +5ab⁴ ±b⁵;

(a±b)⁶= a⁶±6a⁵b +15a⁴b² ±20a³b³ +15a²b⁴ ±6ab⁵ +b⁶.

Сума та різниця степенів двох цілих виразів

a² + b² – не розкладається на множники на множині цілих чисел.

a² – b² = (a–b)(a+b) – це різниця квадратів двох виразів.

а³ – b³ = (a–b)(a² +аb + b²) – це різниця кубів двох виразів.

а³ + b³ = (a+b)(a² –аb + b²) – це cума кубів двох виразів.

а⁴ – b⁴ = (a–b)(a³+а²b+аb² + b³);

а⁴ + b⁴  - не розкладається на множники

а⁵– b⁵= (a–b)(a⁴+а³b + а²b² + аb³ + b⁴);

а⁵ + b⁵= (a+b)( a⁴–а³b + а²b² –аb³ + b⁴);).

a^2m + b^2m  - не розкладається на множники

аⁿ– bⁿ= (a–b)( a^n-1+а^n-2b + а^n-3b² +… +а²b^n-3 + аb^n-2 + b^n-1);

Якщо  b =1, тоді

аⁿ– 1= (a–1)( a^n-1+а^n-2  + а^n-3  +… +а² + а + 1);

Для непарних n

аⁿ+ bⁿ= (a+b)( a^n-1-а^n-2b + а^n-3b² -… +а²b^n-3 - аb^n-2 + b^n-1);

Якщо  b =1, тоді

a²ⁿ⁺¹+ 1= (a+1)( a^n-1- а^n-2  - а^n-3  +… +а² - а + 1);

а³ + b³+c³ -3abc = (a+b+c)(a² + b² +c² –аb–bc–ac)

(a+b+c)² = a² + b² +c² +2аb+2bc+2ac

Наприклад, доведемо, що   2¹⁹⁸¹+1 ділиться на 43.

Маємо 2¹⁹⁸¹ +1 =(2⁷)²⁸³ + 1²⁸³, а це число ділиться на 2⁷ +1 =3∙43.

Задача.   Довести, що число 100...01 складене (всього 1991 нулів).

Розв'язання.

Дане число запишемо  

100...01 =10¹⁹⁹² + 1 =(10⁶⁶⁴)³ + 1³,

Отже, число 100...01  ділиться на 10⁶⁶⁴ + 1.

Наступна задача ілюструє ще один оригінальний метод доведення подільності.

Задача. Довести, що для будь-якого натурального n число

3²ⁿ⁺³+40n-27

ділиться на 64.

Розв'язання.

Позначимо

f(n) =3²ⁿ⁺³+40n-27,  f(1) =256

ді­литься на 64. Тепер нам досить довести, що для будь-якого n

g(n)=f(n + 1)-f(n)

ділиться на 64, адже

f(n)= (f(к)-f(к-1)) + (f(k-1)-f(k-2))+...+(f(2)-f(1))+f(1).

Маємо

g(n)=8∙3²ⁿ⁺³+40.

Щоб довести, що g(n) ділиться на 64, аналогічно перевіряємо, що ділиться

g(1) = 1984,

і роз­глянемо

g(n + 1)-g(n)=64∙3²ⁿ⁺³.

Очевидно, що всі

g(n + 1)-g(n) діляться на 64,

тому діляться всі g(n), а, отже, і всі f(n).

Задача. Довести, що для будь-якого n 2^2n-1-9n²+21n-14 ділиться на 27