Діофантове рівняння ах + bу = с

При розв'язуванні багатьох задач практичного характеру часто доводиться розв'я­зувати рівняння з двома змінними, розв'язком яких можуть бути лише цілі числа. Такими рівняннями і задачами цікавилися ще в стародавні часи. Багато уваги приді­лив їм Діофант із Александрії. На його честь ці рівняння називають діофантовими.

Прикладом такого рівняння є лінійне рівняння

ах + bу = с,

 де а, b, с — цілі числа, відмінні від 0.

Доведемо, що якщо число c не ділиться на найбільший спільний дільник чисел а і b, то рівняння ах + bу = с не має розв'язків серед множини цілих чисел.

Нехай НСД (а; b) = n і число с не ділиться на n. Якщо рівняння має цілі розв'язки х = х₀ і у = у₀, то справедлива рівність ах₀ + bу₀ = с, в якій ліва частина ділиться на n, а права — ні. Ми прийшли до протиріччя. Отже, рівняння не має розв'язків серед множини цілих чисел.

Задача 1. Чи можна виплатити 100 гривень сорока купюрами вартістю 1, 10 і 100 гривень?

Розв'язання. Якщо 100 гривень можна виплатити, задовольнивши умову задачі, то справедливі рівності:

х + 10y + 100z = 1000      і      х + у + z = 40.

З другого рівняння отримаємо х = 40 - у - z і підставимо в перше рівняння:
40 - у - z + 10у + 100z = 1000, 9у + 99z  = 960.

Оскільки НСД (9; 99) = 9, а 960 не ділиться на 9, то рівняння

х + 10у + 100z = = 1000

не має розв'язку серед цілих чисел. Отже, виплатити 1000 гривень, задоволь­нивши умову задачі, не можна.

Задача 2. Довести, що будь-яку суму, виражену цілим числом гривень, більшим за 7, можна заплатити без здачі, маючи лише купюри вартістю 3 і 5 гривень.

Задача 3. Довести, що будь-яку покупку вартістю в ціле число гривень можна заплатити одними тригривенними купюрами, якщо в касира будуть лише п'ятигривенні купюри.

Задача 4. На складі є цвяхи в ящиках по 16, 17 і 40 кг. Чи можна взяти 140 кг цвяхів, не відкриваючи ні одного ящика?

Задача 5. Привезли 420 т вугілля у вагонах по 16, 20 і 25 т. Скільки яких вагонів було використано, якщо відомо, що всього було 27 вагонів?

Практична частина заняття.

Задачі, пов'язані з цілими числами.

Розв'язування багатьох задач приводить до системи рівнянь, що містять більше невідомих, ніж кількість рівнянь. У таких випадках потрібно врахувати додаткові умови чи властивості. Наприклад, іноді заздалегідь відомо, що шуканий розв'язок повинен бути цілим або невід'ємним цілим одноцифровим числом.

При розв'язуванні задач, пов'язаних із цілими числами, зручно використовувати такі позначення: — двоцифрове число, в якому a  цифра десятків і b цифра одиниць. Аналогічно

 = 100а + 10b + с;

= 1000а + 100b + 10с + d.

Задача 1. Вік людини в 1973 році дорівнює сумі цифр її року народження. Скільки їй років?

Розв'язання. Нехай людина народилася в 19хy році. її вік буде 1 + 9 + х + у. Тоді 1900 + 10х + у + 10 + х + у = 1973, або 11х + 2у = 63. Звідси

х=(63-2у)/11

Оскільки 63 - 2у повинно бути кратним 11, то 63 – 2у може дорівнювати: 55, 44, 33, 22, 11. Враховуючи, що х, у <9; х,у є N, отримаємо х =(63-2*4)/11=5.

Отже, х = 5, у = 4. Людина народилася в 1954 році і їй було 19 років.

Задача 2. Вік студента в 1977 році дорівнює сумі цифр року його народження. Скільки років студенту?

Відповідь: 17 років.

Задача 2а. Моєму брату у 1998 році було стільки років, скільки дорівнювала сума цифр його року народження. В якому році народився мій брат?

Відповідь: 1980 рік народження.

Задача 3. Від двоцифрового числа відняли суму його цифр і отримали число, записане тими самими цифрами, але в оберненому порядку. Яке це число?

Задача 4. Знайти двоцифрове число, перша цифра якого дорівнює різниці між цим числом і числом, записаним тими самими цифрами, але в оберненому порядку.

Задача 5. Знайти двоцифрове число, яке дорівнює сумі числа його десятків і квадрату числа одиниць.

Задача 6. У трицифровому числі закреслили середню цифру. Отримане двоцифро­ве число в 6 разів менше даного трицифрового. Знайти це трицифрове число.

Задача 7. Скількома способами можна скласти відрізок довжиною 1 м із відрізків довжинами 7 і 12 см?

Задача 8. Якщо першу цифру трицифрового числа збільшити на n, а другу і третю цифру зменшити на n, то отримаємо число в n раз більше даного. Знайти n і дане число.

Задача 9. У першому ящику на 6 горіхів менше, ніж у двох інших разом, а в другому — на 10 менше, ніж у першому і третьому разом. Скільки горіхів у третьому ящику?

Задача 10. У трицифровому числі закреслили цифру сотень, отримане двоцифрове число помножили на 7 і отримали дане трицифрове число. Яке це число?

Задача 11. Яке число в 19 разів більше від числа його одиниць?

Задача 12. Про два прості числа відомо, що якщо від першого відняти половину другого, а від другого відняти половину першого, то перша різниця буде в 5 разів більша, ніж друга. Знайти ці числа.

Задача 13. У кінці 1969 року онук виявив, що коли між цифрами його року народження послідовно вставити знаки *, +, *, то в результаті отримається число, яке дорівнює його віку. Коли він це сказав за обідом, то дід зауважив, що він може сказати про себе те саме. На скільки років дід старший за онука?

Задача 14. Два покупці купили відповідно 5 та 31 однакових блокнотів. Перший дав касирові 5 гривень, другий — купюру в 25 гривень. Касир помилково дав здачу першого другому, а другого — першому. Визначити, скільки коштує блокнот і яку суму перший покупець повинен передати другому?

Задача 15. Добуток п'яти послідовних натуральних чисел у 120 разів більший від числа аbаbаb. Знайти ці числа.

Задача 16. Добуток трьох послідовних непарних чисел у 5 разів менший від числа bаbаbа. Знайти ці непарні числа.