ОРІЄНТОВНЕ календарно-тематичне планування
факультативного курсу «ТЕОРІЯ ЧИСЕЛ»
«ТЕОРІЯ ЧИСЕЛ»
8-9 класи
(35 годин на рік)
(1 ГОД НА ТИЖДЕНЬ - 1 СЕМЕСТР (16 тижнів 16 годин),
1 ГОД НА ТИЖДЕНЬ - 2 СЕМЕСТР(19 тижнів
19 годин))
Заняття проводяться в кабінеті 34
кожної середи з 14.45 до 15.45
|
№
|
ТЕМА, ЗМІСТ ЗАНЯТЬ, ПРАКТИЧНІ
РОБОТИ
|
ГОДИН
|
ДАТА
|
|
|
1.
ВСТУП В ТЕОРІЮ ЧИСЕЛ
|
2
|
|
|
1
|
Вступ.
Числові множини. Аксіоми Пеано. Поняття парності і непарності. Упорядковані
множини. Властивості упорядкованих множин.
|
1
|
02.09
|
|
2
|
Аксіома
математичної індукції. Метод математичної індукції. Доведення методом
математичної індукції. Обчислення сум натуральних степенів за допомогою
формул:
2+4+6+..+ 2k = k(k+1)
(сума перших парних натуральних чисел);
1+3+5+..+ 2k -1 = k2
(сума перших непарних натуральних чисел);
1+2+3+4+..+ k= 0,5k (k+1) (сума перших парних натуральних чисел);
12+22+32+42+..+
k2 = k(k+1)(2k+1):6
(сума квадратів перших натуральних чисел);
1∙2 + 3∙2 + 3∙4 + 4∙5 + 5∙6 + … + k(k+1) = k(k+1)(2+k):3 ;
13+23+33+43+..+
к3 = k2(k+1) 2:4
(сума кубів перших натуральних чисел);
|
1
|
08.09
|
|
|
2. МНОЖИНА
НАТУРАЛЬНИХ ЧИСЕЛ
|
4
|
|
|
3
|
Означення
простого та складеного числа, їх властивості. Критерій простого числа. Множина простих чисел. Решето Колмогорова.
Решето Сундарама. Дії з натуральними числами: степінь, факторіал. Ознаки подільності натуральних чисел
на 6, 7, 8, 11, 13, 17. числа. Теорема Евкліда про кількість простих чисел.
|
1
|
15.09
|
|
4
|
Розклад
натурального числа на прості множники.
Формула кількості дільників натурального числа. Властивості парності та
непарності чисел в сумах натуральних чисел.
Теорема про ділення з
остачею. Ознаки подільності
натуральних чисел. Властивості подільності. Основна
теорема арифметики цілих чисел про існування та єдиність розкладу натурального числа на прості множники. Загальний
вигляд довільного дільника числа.
|
1
|
22.09
|
|
5
|
Найбільший спільник дільник натуральних чисел. Означення, існування, основні
властивості НСД. Алгоритм Евкліда для
знаходження НСД. Способи
утворення магічних трикутників на сумах та добутках.
|
1
|
29.09
|
|
6
|
Найменше
спільне кратне натуральних чисел. Означення, існування, основні властивості НСК. Алгоритм знаходження НСК. Способи утворення
магічних квадратів на сумах та добутках.
|
1
|
06.10
|
|
|
3. МНОЖИНА ЦІЛИХ ЧИСЕЛ
|
4
|
|
|
7
|
Множина
недодатних чисел. Правила порівняння цілих чисел. Числова пряма. Графічне
позначення подвійної нерівність на множинні цілих чисел. Множина цілих чисел,
що задані формулами:
аb(а ± b)=2k;
аb(а4 –b4)=30k ;
n5 –n =5k;
n7 –n =7k;
n2 + m2 + r2+1=8k;
(2k+1)2 –(2n-1)2 =8k;
n(n+1)= 2k, тобто,
добуток двох послідовних цілих чисел завжди парне число;
(n+2)(n+1)n =
3k, тобто, добуток трьох послідовних цілих чисел завжди
ділиться на 3 націло;
(n-1)n(n+1) = 6k, тобто,
добуток трьох послідовних цілих чисел завжди ділиться на 6 націло;
(n-1)n(n+1)(n+2)
= 6k тобто, добуток трьох послідовних цілих
чисел завжди ділиться на 6 націло;
(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) = 2∙3∙4∙5k=120k.
|
1
|
13.10
|
|
8
|
Лінійні
діофантові рівняння з однією змінною kx=m.
Аналітичні та графічні способи розв’язання лінійних діофантових рівнянь.
|
1
|
20.10
|
|
9
|
Лінійне
діофантове рівняння з двома змінними kx+my=n. Умова існування розв’язків. Аналітичні та графічні
способи розв’язання лінійних діофантових рівнянь з двома змінними.
Властивості множини розв’язків лінійного діофантового рівняння kx+my=n. Поняття арифметичної прогресії
|
1
|
03.11
|
|
10
|
Способи
розв’язування цифрових рівнянь в десятковій системі числення. Фігурні
числа: трикутні, чотирикутні, п’ятикутні, шестикутні числа.
|
1
|
10.11
|
|
|
4. ТЕОРІЯ ЛИШКІВ. КОНГРЕНЦІЇ.
|
22
|
|
|
11
|
Розбиття
множини цілих чисел на класи за цілим модулем. Поняття класу лишків для
цілого числа. Табличний спосіб запису класів лишків цілого числа за модулем 6
та за модулем 9. Властивості запису простих чисел. Починаючи з
5, усі прості числа можуть бути подані у вигляді 6k-1 та 6k+1, якщо k – натуральне число.
Будь-яке
натуральне число когруентне сумі своїх цифр у десятковій системі числення за
модулем 9.
|
1
|
17.11
|
|
12
|
Поняття
конгруенцій. Основні властивості конгруенцій. Китайська теорема про остачі: Якщо цілі числа m1, m2, m3, m4 , … , mk , то для довільних цілих чисел а1,
а2, а3, а4 , … , аk існує ціле число х, яке
задовольняє умови х º аі (mod mі), де i=1,k, При
цьому число х можна вважати числом, яке належить довільному наперед заданому півінтервалу
довжиною, дорівнює добутку
m1∙m2∙m3∙m4∙ … ∙mk.
1)Якщо одна частина конгруенції і модуль діляться на
яке-небудь ціле число, то й друга частина конгруенції повинна ділитись на це
число.
2)Якщо в многочлені f(х1 х2,..., хn) від n цілих величин х1 х2,..., хn з цілими коефіцієнтами ці величини і
коефіцієнти замінити конгруентними з ними величинами і числами за модулем m, то в результаті дістанемо новий многочлен,
конгруентний з попереднім за тим самим модулем m.
|
1
|
24.11
|
|
13
|
Степеневі
лишки. Таблиця лишків за модулем 10 та
100 для натуральних степенів. Квадратні лишки - остачі при
діленні квадратів на натуральні числа. Кубічні
лишки - остачі при діленні кубів на натуральні числа. Остачі при діленні четвертих степенів на натуральні числа. Остачі при
діленні п’ятих степенів на натуральні числа. Можливі тільки такі степеневі двоцифрові лишки для довільних степенів будь-яких цифр: 00,
01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09,
12,16, 21,23, 24, 25, 27, 28, 29, 32, 36, 41, 43, 44, 47, 48, 49, 52,56, 61,
63, 64, 67, 68, 69, 72,76, 81,83, 84,
88, 89, 92, 96.
|
1
|
1.12
|
|
14
|
Мала
теорема Ферма. Для простого
числа р виконується конгруенція ар-1º1(mod р) або арºа(mod р).
Використання
теореми Ферма для обчислення лишків у виразів nm за простим
модулем k. Складання таблиці остач х2+у2
за модулем 7.
|
1
|
08.12
|
|
15
|
Функція
Ейлера. Формули обчислення функції Ейлера. Теорема Ейлера. Функція кількості взаємно простих чисел для
натурального числа n називається функцією
Ейлера j(n), для неї виконується конгруенція aj(n)º1(mod n).
Використання
теореми Ейлера для знаходження лишків у виразів nm +ab +рq за модулем k.
Критерій
простоти цілого числа. Теорема Вільсона: Если р-простое
число, то имеет место сравнение (р-1)!+1≡0(modp).
|
1
|
15.12
|
|
16
|
Однорідне
квадратне діофантове рівняння з двома змінними виду ах2+bxy+cy2=0. Формула розкладу на множники: ах2+bxy+cy2=(х-k1y)(x-k2y), де k1, k2
–розв’язки квадратного рівняння аk2+bk+c=0.
|
1
|
22.12
|
|
17
|
Повні
квадратні діофантові рівняння з двома змінними виду ах2+bxy+cy2 + dx+fy+e=0. Зведення
до виду суми повних квадратів (m1х-k1y)2+ (m2y-k2)2 + (m3x-k3)2 = n. Побудова таблиці цілих значень для (m1х-k1y)2+ (m2y-k2)2 + (m3x-k3)2.
|
1
|
29.12
|
|
18
|
Розв’язування
діофантових рівнянь другого степеня з двома змінними виду a(m1х-k1y)2+ b(m1х-k1у) + c = 0.
|
1
|
12.01
|
|
19
|
Рівняння
Піфагора a2+b2=c2. Таблиця піфагорових трійок. У
прямокутному трикутнику сторони можуть виражатися натуральними числами за
формулами:
а = m2 –
n2; b =
2mn; c
= m2 +
n2 .
Властивості піфагорових трійок.
|
1
|
19.01
|
|
20
|
Рівняння
Герона. S2=p(p-a)(p-b)(p-c). Геронові трійки.
a=n(m2+k2), b=m(m2+k2),
c = (m+n)(mn-k2), НСК( k,m,n)=1.
p=mn(m+m), S=kmn(m+n)(mn-k2).
|
1
|
26.01
|
|
21
|
Магічні трикутники на сумах та добутках цілих
чисел. Способи переходи від магічних трикутників на сумах до магічних
трикутників на добутках.
|
1
|
2.02
|
|
22
|
Магічні квадрати на сумах та добутках цілих
чисел. Способи переходи від магічних квадратів на сумах до магічних квадратів
на добутках.
|
1
|
9.02
|
|
23
|
Інваріанти для степенів натуральних чисел.
Рівняння з довільними натуральними показниками
та парним модулем xm º yn º…º zk (mod 2р) має розв’язки в цілих числах (x;y;…,z), де всі числа, що входять
до розв’язку однакової парності.
Не існує такого степеня непарного числа,
результат якого мав би непарну цифру в
розряді десятків. Не існує такого
степеня, більшого 2, який можна подати
у вигляді 4m±2
Для довільного степеня числа 7, результат має тільки дві цифри в розряді десятків 0
або 4.
Для довільного показника степеня, більшого 1, з основою 5 результат
має тільки такі дві останні цифри 25, при цьому цифра в розряді сотень
завжди парна.
Для довільного степеня, більшого 1, з основою 6 результат
має непарну цифру в розряді
десятків і цифри 6 в розряді одиниць.
Пошуково-дослідницька діяльність на знаходження
інваріантів для степенів цілих чисел:
(2)4n+2 = 100n + 10a + b, де а – парна
цифра, b = 4.
(2)4n = 100n + 10a + b, де а – непарна
цифра, b = 6.
4k+1=(4m+1)n ;
Степінь парного числа кратна 4: 4k=(4m+2)n ; 16q=(4m)n;
Парна степінь трійки при діленні на 4 має остачу
1: 4k+1=32n ;
Непарна степінь трійки при діленні на 4 має
остачу3:4k+3=32n -1;
Парна степінь сімки при діленні на 4 має остачу
1: 4k+1=72n ;
Непарна степінь сімки при діленні на 4 має
остачу 3: 4k+3=72n-1.
|
1
|
16.02
|
|
24
|
Число аn ± 1 складене,
якщо число n можна розкласти на прості множники.
аn – 1= (a–1)( an-1+аn-2
+ аn-3
+… +а2 + а + 1);
аn – bn = (a–b)( an-1+ аn-2b + аn-3b2 +… + а2bn-3 + аbn-2 + bn-1);
Для непарних n:
аn + bn = (a+b)( an-1-аn-2 b + аn-3b2 -… +а2bn-3 - аbn-2 + bn-1);
Якщо
b =1, тоді a2n+1 + 1= (a+1)( an-1- аn-2
- аn-3
+… +а2 - а + 1);
ТРИКУТНИК ПАСКАЛЯ. Властивості чисел в
трикутнику Паскаля. Біноми Ньютона.
(a±b)4 = a4±4a3b +6a2b2
±4ab2 + b4;
(a±b)5 = a5±5a4b +10a3b2 ±10a2b3
+5ab4 ± b5;
(a±b)6= a6±6a5b +15a4b2 ±20a3b3 +15a2b4
±6ab5 +b6.
|
1
|
23.02
|
|
25
|
Розв’язування
діофантових рівнянь з двома змінними виду:
xy + x + y + а = (х + 1)(y +
1) + а – 1= 0;
xy + x + y + 1= (х + 1)(y +
1) = р;
aху + bх + cу + d = (x + c:a)(ау + b) + d – (cb:a) =0.
|
1
|
2.03
|
|
26
|
Розв’язування
діофантових рівнянь з двома змінними виду:
а3
+ b3 + c3 - 3abc = (a+b+c)(a2 + b2 +c2 –аb–bc–ac)= р;
(a + b + c)2 = a2 + b2
+ c2 + 2аb + 2bc +2ac = р;
(a – b)3
+ (b – c)3 + (c
– a)3 =3 (a – b)(b – c)(c – a).
|
1
|
9.03
|
|
27
|
Розв’язування
діофантових рівнянь з двома змінними виду:
a4 + 4 = (a2 – 2a + 2)(a2 + 2a + 2) = р;
4a4 + b4 = (2a2 – 2ab + b2)(2a2 +
2ab + b2) = р;
a4 + 4b4 = (2b2 – 2ab + a2)(2b2 +
2ab + a2) = р;
|
1
|
16.03
|
|
28
|
Розв’язування
діофантових рівнянь з двома змінними виду:
a4 + a2 + 1 = (a2 + a + 1)(a2 – a + 1) = р;
а5 + a +1 = (a2 + a + l)(a3 – a2 + 1) = р;
a10 + a5 + 1 = (a2 + a + 1)(a8 – a7 + a5 – a4 + a3 – a + 1) = р;
|
1
|
23.03
|
|
29
|
Робота над проектом з
учнівським портфоліо «Діофантові рівняння»
|
1
|
06.04
|
|
30
|
Робота
над проектом з учнівським портфоліо
«Діофантові рівняння»
|
1
|
13.04
|
|
31
|
Робота над проектом з
учнівським портфоліо «Діофантові рівняння»
|
1
|
20.04
|
|
32
|
Робота над проектом з
учнівським портфоліо «Діофантові рівняння»
|
1
|
27.04
|
|
|
5.ПРАКТИКУМ З СИСТЕМАТИЗАЦІЇ ЗНАНЬ.
|
3
|
|
|
33
|
Узагальнення та систематизація знань. Захист учнівських проектів.
|
1
|
4.05
|
|
34
|
Узагальнення та систематизація знань. Захист учнівських проектів.
|
1
|
11.05
|
|
35
|
Узагальнення та систематизація знань. Захист учнівських проектів.
|
1
|
18.05
|
Немає коментарів:
Дописати коментар