Пошукові задачі з теорії чисел

Нестандартні та пошукові  задачі  з теорії чисел

1.      Чи вірно, що будь-яке просте число більше двох можна записати у вигляді різниці квадратів двох натуральних чисел?

Відповідь: так, вірно.

2.      Знайти таке просте число p, для якого відомо, що  числа p + 10;   p + 20  є простими.

Відповідь: 3.

3.      Знайти таке просте число p, для якого відомо, що  числа  p + 10;   p +14  є простими.

Відповідь: 3.

4.      Знайти, двоцифрове число, яке при перестановці своїх цифр збільшується в 4,5 рази.

Відповідь: 18.

5.      Двоцифрове число закінчується цифрою 3. Якщо це число до­дати до числа, записаного тими самими цифрами, але в зворот­ному порядку, то буде 55. Знайдіть двоцифрове число.

Відповідь: 23.

6.      Якщо до задуманого двоцифрового числа дописати справа і зліва цифру 4, то утворене  чотирицифрове число буде в 54 рази більше від задуманого. Яке число задумали?

Відповідь: 91.

7.      Перша зліва цифра шестицифрового числа дорівнює 1. Якщо цю цифру переставити на останнє місце, то число збільшиться у 3 рази. Знайдіть шестицифрове число.

Відповідь: 142 857.

8.      Сума цифр двоцифрового числа 15. Якщо це число помножити на 7 і від добутку відняти двоцифрове число, записане тими са­мими цифрами, що і початкове, але в зворотному порядку, тоді­
станемо 387. Знайдіть двоцифрове число.

Відповідь: 69.

9.      Якщо між цифрами двоцифрового числа вписати це двоцифрове число, то утворене чотирицифрове число буде більше за почат­кове у 77 раз. Знайдіть це число.

Відповідь: 15.

10.  Цифра десятків задуманого числа на 4 менша від цифри одиниць. Якщо між цифрами цього числа вписати двоцифрове число, мен­ше від задуманого на 1, то утворене чотирицифрове число буде в 91 раз більше від задуманого. Яке число задумано?

Відповідь: 37.

11.  Якщо деяке двоцифрове число помножити на суму його цифр, то в результаті буде 418. Якщо це двоцифрове число поділити на суму його цифр, то в частці буде 3 і в остачі 5. Знайдіть це  число.

Відповідь: 38.

12.  Знайти цифри х та у, якщо рівняння: 33333х – 11111ху + у =0.

Відповідь: х = 9, у = 2.

13.  Чи вірно, що натуральне число ділиться на 37, якщо на 37 ділиться сума усіх трицифрових груп даного числа, починаючи з кінця?

Відповідь:  так, вірно.

14.  Чи вірно, що сума  таких трицифрових чисел: abc+bca+cab є квадратом деякого натурального числа? (Тут a, b, c – цифри).

Відповідь:  не вірно.

15.  Добуток двоцифрового числа і числа , записаного тими ж цифрами, але в оберненому порядку, дорівнює 2430. Знайти ці числа.

16.  Відповідь:  54 та 45.

17.  Знайти натуральне число, квадрат якого складається із однієї одиниці, двох  двійок, трьох трійок, і т.д. до дев’яти дев’яток.

Відповідь:  такого числа не існує.

18.  На скільки однакових ненульових цифр може закінчуватися квадрат натурального числа?

Відповідь: на три цифри, наприклад 1444.

19.  Чи вірно, що остача від ділення  натурального числа на 4  дорівнює остачі від ділення на 4 числа, складеного із двох останніх цифр?

Відповідь:  так, вірно.

20.  Чому, якщо сума цифр натурального числа дорівнює 2006, то це число не є квадратом?

Відповідь:  Бо 2 – остача від ділення даного числа на 3, і  вона дорівнює остачі від ділення на 3 суми його цифр. А квадрати при діленні на 3 мають остачу 0 або 1.

21.  Знайти усі натуральні числа х, добуток цифр яких дорівнює  х∙х –10∙х – 22.

Відповідь: 12.

22.  Знайти усі можливі остачі від ділення квадрату натурального числа на 7.

Відповідь: 0, 1, 2, 4.

23.  Знайти натуральні числа, починаючи з яких сума квадратів п’яти послідовних натуральних чисел є квадратом деякого натурального числа.

Відповідь: не існує такого числа.

24.  Відомо, що p та   2p+1   прості числа більше трьох. Знайти просте число 4p+1.

Відповідь: не існує такого числа.

25.  Знайти найбільший спільний дільник натуральних чисел 2p+3 та p+7.

Відповідь: 11, якщо p = 11к-7;  1, для  натуральних p, які не можна записати у вигляді    11к-7.

26.  Чи вірно, що для будь-якого натурального числа n існує число вигляду 1111…111100…0, кратне n?

Відповідь: так вірно.

27.  Відомо, що натуральне число вигляду 6х + 11у кратне 31. Чи буде натуральне число вигляду х + 7у кратне 31?

Відповідь: так.

28.  В деякій казці 26 голів сороканіжок  та триголових драконів, а усіх ніг 298. Якщо у сороканіжки одна голова, то скільки ніг у дракона?

Відповідь: 14 ноги у дракона.

29.  Знайти усі натуральні числа х та у , якщо х∙у = х + у.

Відповідь: х = 2; у = 2.

30.  Знайти усі натуральні числа х та у , якщо у∙у – 3х∙х  = 8.

Відповідь: не існує таких натуральних чисел.

31.  Знайти усі прості числа х та у , якщо у∙у – 2х∙х  = 1.

Відповідь: х = 3; у = 2.

32.  Знайти усі цілі числа х,  у, z якщо у∙у + х∙х + z∙z  = 2xyz.

Відповідь: х = у = z = 0.

33.  Записати натуральне число у вигляді суми натуральних доданків так, щоб їх добуток був найбільшим.

Відповідь: якщо 3к , то усі доданки є трійки; якщо число 3к + 1, то у сумі,  окрім трійок, є тільки дві двійки; якщо число  3к + 2, то у сумі,  окрім трійок, є тільки одна двійка;

34.  Чи вірно, що для будь-якого натурального числа  к  існує к різних натуральних чисел, сума квадратів яких є квадратом натурального числа?

Відповідь: так, вірно.

35.  Поділити число 770 на чотири частини, які були б обернено пропорційні числам 2, 3, 4 і 5.

Відповідь: 300, 200, 150, 120.

36.  Чи вірно, що сума чотирьох послідовних натуральних степенів трійки кратна 120?

Відповідь: так, вірно.

37.  Знайдіть такі натуральні числа, які при діленні на 111 дають остачу, що дорівнює п’ятому степеню натурального числа.

Відповідь: числа виду  111к + 1 та 111к + 32.

38.  Хлопчик   купив 44 марки   вартістю  4 коп.,  5 коп.   і  10 коп. за штуку, заплативши за марки кожного виду  однакові суми грошей. Скільки марок кожного виду купив хлопчик?

Відповідь: 20 марок по 4 коп., 16 марок по 5 коп. і 8 марок по 10 коп.